$\frac{x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4+x_{4}^4}{x_{1}^3+x_{2}^3+x_{3}^3+x_{4}^3}\geq \frac{1}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yellow: 02-10-2012 - 21:36
$\frac{x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4+x_{4}^4}{x_{1}^3+x_{2}^3+x_{3}^3+x_{4}^3}\geq \frac{1}{4}$
Bắt đầu bởi yellow, 02-10-2012 - 21:31
#1
Đã gửi 02-10-2012 - 21:31
yellow
-
- Pre-Member
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
Cho $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}>0$ thoả mãn điều kiện: $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4+x_{4}^4}{x_{1}^3+x_{2}^3+x_{3}^3+x_{4}^3}\geq \frac{1}{4}$
$\frac{x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4+x_{4}^4}{x_{1}^3+x_{2}^3+x_{3}^3+x_{4}^3}\geq \frac{1}{4}$
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#2
Đã gửi 03-10-2012 - 01:00
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Không mất tính tổng quát giả sử $x_1\ge x_2\ge x_3\ge x_4\Rightarrow x_1^3\ge x_2^3\ge x_3^3\ge x_4^3$Cho $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}>0$ thoả mãn điều kiện: $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{x_{1}^4+x_{2}^4+x_{3}^4+x_{4}^4}{x_{1}^3+x_{2}^3+x_{3}^3+x_{4}^3}\geq \frac{1}{4}$
Áp dụng BĐT Chebishev ta có $$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4\ge \frac{(x_1+x_2+x_3+x_4)(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3)}{4}=\frac{x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3}{4}$$
Từ đây ta có đpcm
- WhjteShadow yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
