Chủ đề này có 2 trả lời

[ducthinh26032011]

Bài toán:Cho các số $a,b,c\in R^{+}$ thỏa $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$.C/m:
$a)$ $$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3$$
$b)$ $$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}$$

[Secrets In Inequalities VP]

Bài toán:Cho các số $a,b,c\in R^{+}$ thỏa $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$.C/m:
$a)$ $$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3$$
$b)$ $$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}$$

Theo $Holder$ $(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^3$
$\Leftrightarrow (\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$
Và ta cần chứng minh : $\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geq 9$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\geq 9(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^6\geq 81(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^{2}$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^6\geq 27(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^{2}$
Áp dụng AM-GM dạng $27xyz\leq (x+y+z)^3$ ta được
$VT\leq (a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^3= (a^2+b^2+c^2)^{6}$

[WhjteShadow]

b)Tương tự như bài trên,áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có:
$$\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)^2[a^2(b+c)^2+b^2(a+c)^2+c^2(a+b)^2]\geq (a^2+b^2+c^2)^3$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$(a^2+b^2+c^2)^3\geq \frac{9}{4}[a^2(b+c)^2+b^2(a+c)^2+c^2(a+b)^2]$$
Nhưng ở trên Tuấn Anh đã chỉ ra:
$$\frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geq 9$$
Nên cuối cùng ta cần có:
$$4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq [a^2(b+c)^2+b^2(a+c)^2+c^2(a+b)^2]$$
$$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)$$
Và đây là 1 kết quả quen thuộc.Ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 03-10-2012 - 20:32