Chủ đề này có 1 trả lời

[shinichi2095]

tính các góc của tam giác ABC biết
$A\geq 120^{0} và sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{2\sqrt{3}-3}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichi2095: 04-10-2012 - 19:49

[diepviennhi]

tính các góc của tam giác ABC biết
$A\geq 120^{0} và sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{2\sqrt{3}-3}{8}$

ta có $sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2}(cos\frac{B-C}{2}-cos\frac{B+C}{2})\leq \frac{1}{2}(1-sin\frac{A}{2})\Rightarrow \frac{2\sqrt{3}-3}{8}\leq \frac{1}{2}.sin\frac{A}{2}(1-sin\frac{A}{2})\Leftrightarrow sin^{2}\frac{A}{2}-sin\frac{A}{2}+\frac{2\sqrt{3}-3}{4}\leq 0$
Đặt $sin\frac{A}{2}=t\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ta có $t^{2}-t+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}\leq 0\Leftrightarrow (t-\frac{\sqrt{3}}{2})(t-1+\frac{\sqrt{3}}{2})\leq 0$ (*)
Mặt khác do $t\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow t-\frac{\sqrt{3}}{2}\geq 0> 1-\sqrt{3}> \frac{-\sqrt{3}}{2}+1-t$ nên (*) chỉ đúng khi $t=\frac{\sqrt{3}}{2}$ hay $A=120^{\circ}$ Từ đó ta có $cos\frac{B-C}{2}=1\Leftrightarrow B=C$