Chủ đề này có 1 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Với mỗi số nguyên không âm $n$ và $k$,ta định nghĩa $Q(n;k)$ là hệ số của $x^{k}$ trong khai triển $(1+x+x^2+x^3)^{n}$.Chứng minh:
$$Q(n;k)=\sum_{j=0}^{k}\binom{n}{j}\binom{n}{k-2j}$$

[hxthanh]

Ký hiệu: $\left\langle x^m\right\rangle P(x)$ là hệ số của $x^m$ trong khai triển của $P(x)$
Ta có:
$\quad(1+x+x^2+x^3)^n=[(1+x)(1+x^2)]^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k\sum_{j=0}^n{n\choose j}x^{2j}$
$=\sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^n{n\choose j}{n\choose k}x^{k+2j}$

$\Rightarrow m=k+2j$ suy ra $k=m-2j$

Vậy $\left\langle x^m\right\rangle(1+x+x^2+x^3)^n=\sum_{j=0}^n {n\choose j}{n\choose m-2j}=\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor}{n\choose j}{n\choose m-2j}$

Với $j> \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor$ thì ${n\choose m-2j}=0$

Những trường hợp lấy tổng như thế, người ta thường viết là $\sum_{j\ge 0}{n\choose j}{n\choose m-2j}$
đôi khi gọn hơn là $\sum_{j}{n\choose j}{n\choose m-2j}$