Chủ đề này có 2 trả lời

[Thái Vũ Hoàng Anh]

Xác định số hạng tổng quát của dãy $(u_{n})$, biết rằng $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=9u_{n}^{3}+3u_{n} \end{matrix}\right.$

[dark templar]

Xác định số hạng tổng quát của dãy $(u_{n})$, biết rằng $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=9u_{n}^{3}+3u_{n} \end{matrix}\right.$

1 cách giải sử dụng hàm hypebolic
Đặt $u_{n}=\frac{2}{3}v_{n} \implies v_1=3$.
Vậy ta có dãy $\{v_{n} \}:\left\{\begin{matrix} v_1=3 & \\ v_{n+1}=4v_{n}^3+3v_{n} ;\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$
Đặt $v_{1}=\sinh{x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=3 \implies e^{x}=3+\sqrt{10}$.Ta dễ dàng có được tính chất sau:
$$\sinh{3x}=4\sinh^3{x}+3\sinh{x}$$
Nên:
$$v_2=4v_1^3+3v_1=4\sinh^3{x}+3\sinh{x}=\sinh{3x}$$
Suy ra theo quy nạp,ta có:
$$v_{n}=\sinh{3^{n-1}x}=\frac{1}{2}\left[(3+\sqrt{10})^{3^{n-1}}-(\sqrt{10}-3)^{3^{n-1}} \right]$$
Hay:
$$u_{n}=\frac{1}{3}\left[(3+\sqrt{10})^{3^{n-1}}-(\sqrt{10}-3)^{3^{n-1}} \right]$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 05-10-2012 - 23:30

[Crystal]

Xác định số hạng tổng quát của dãy $(u_{n})$, biết rằng $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2\\ u_{n+1}=9u_{n}^{3}+3u_{n} \end{matrix}\right.$

Giải:

Đặt: ${v_n} = 3{u_n}\,\,\left( {n = 1,2,...} \right)$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 6\\{v_{n + 1}} = v_n^3 + 3{v_n}\end{array} \right.$

Chọn ${x_1},\,{x_2}\,:\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.$

Với $n = 1$, ta có: ${v_1} = 6 = {x_1} + {x_2} = x_1^{{3^{1 - 1}}} + x_2^{{3^{1 - 1}}}$

Với $n = k$, ta giả sử: ${v_k} = x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}$

Với $n = k + 1$, ta có: ${v_{k + 1}} = v_k^3 + 3{v_k} = {\left( {x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}} \right)^3} + 3\left( {x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}} \right)$

$ = x_1^{{3^k}} + x_2^{{3^k}} + 3{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^{{3^{k - 1}}}}\left( {x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}} \right) + 3\left( {x_1^{{3^{k - 1}}} + x_2^{{3^{k - 1}}}} \right) = x_1^{{3^k}} + x_2^{{3^k}}$

Theo nguyên lí quy nạp thì: ${v_n} = x_1^{{3^{n - 1}}} + x_2^{{3^{n - 1}}},\,\,\,\forall n \in \mathbb{N}$

Do ${x_1},\,{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 6x - 1 = 0$

Vậy: ${u_n} = \dfrac{1}{3}\left[ {{{\left( {3 - \sqrt {10} } \right)}^{{3^{n - 1}}}} + {{\left( {3 + \sqrt {10} } \right)}^{{3^{n - 1}}}}} \right]$