Chủ đề này có 2 trả lời

[aries34]

Bài 1: Cho $\Delta ABC$, hai điểm $M, N$ thay đổi sao cho:
$\underset{MN = }{\rightarrow} \underset{4MA+}{\rightarrow} \underset{MB-}{\rightarrow} \underset{2MC}{\rightarrow}$
CMR: đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ tìm điểm $M$ thuộc $(O)$ sao cho $\left | \underset{MA+}{\rightarrow} \underset{MB-}{\rightarrow} \underset{MC}{\rightarrow} \right |$ lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aries34: 05-10-2012 - 03:22

[duongchelsea]

Bài 1: Cho $\Delta ABC$, hai điểm $M, N$ thay đổi sao cho:
$\underset{MN = }{\rightarrow} \underset{4MA+}{\rightarrow} \underset{MB-}{\rightarrow} \underset{2MC}{\rightarrow}$
CMR: đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

Lấy điểm $I$ sao cho: $4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ (điểm này là một điểm cố định).
Theo đề bài ta có:
$$\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=(4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{MI})+(4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC})\Rightarrow \overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{MI}$$
Vậy $M, I, N$ thẳng hàng hay $MN$ đi qua $I$ là một điểm cố định.(ĐPCM)

[duongchelsea]

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ tìm điểm $M$ thuộc $(O)$ sao cho $\left | \underset{MA+}{\rightarrow} \underset{MB-}{\rightarrow} \underset{MC}{\rightarrow} \right |$ lớn nhất, nhỏ nhất.

Lấy điểm $I$ sao cho $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 3\overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{IC}$ (với $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$).
Đặt $A=\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |=\left | (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{MI})+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}) \right |=\left | \overrightarrow{MI} \right |=MI$
Ta có: $OI+IM\geq OM=R\Rightarrow IM\geq R-OI\Rightarrow IM_{min}=R-OI$ khi và chỉ khi $O, I, M$ thẳng hàng ($I$ nằm giữa $O, M$).
Mặt khác, ta lại có: $IM\leq IO+OM=IO+R\Rightarrow IM_{max}=IO + R$ khi và chỉ khi $O, I, M$ thẳng hàng ($O$ nằm giữa $I, M$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 07-10-2012 - 10:55