Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leq \frac{1}{abc}$$
Cách 1$\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}=\frac{3\sqrt[3]{3.9bc.\left ( 1+6ab \right )}}{9\sqrt[3]{abc}}\leq \frac{4+9bc+6ab}{9\sqrt[3]{abc}}$
Tương tự $\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}\leq \frac{4+9ca+6bc}{9\sqrt[3]{abc}}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leq \frac{4+9ab+6ca}{9\sqrt[3]{abc}}$
Cộng theo 3 BĐT trên ta được $VT\leq \frac{12+15\left ( ab+bc+ca \right )}{9\sqrt[3]{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$
(1)Mặt khác $1=ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$ $\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.\sqrt[3]{abc}=3abc$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\leq \frac{1}{abc}$
(2) Từ (1) và (2) bđt được cm. Dấu '=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Cách 2 $ab+bc+ca=1\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$ ( cùng chia cho $abc$ )
Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}$ thì giả thiết trở thành $x+y+z=xyz$
Và bđt ban đầu trở thành CM $\sqrt[3]{x+\frac{6}{y}}+\sqrt[3]{y+\frac{6}{z}}+\sqrt[3]{z+\frac{6}{x}}\leq x+y+z$ ( $=xyz$ )
Mặt khác, theo AM-gM thì
$\sqrt[3]{x+\frac{6}{y}}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}.\sqrt[3]{\left ( x+\frac{6}{y} \right ).3\sqrt{3}.3\sqrt{3}}\leq \frac{1}{9}\left ( x+\frac{6}{y}+6\sqrt{3} \right )$
Tương tự ta được $\sqrt[3]{y+\frac{6}{z}}\leq \frac{1}{9}\left ( y+\frac{6}{z}+6\sqrt{3} \right )$
$\sqrt[3]{z+\frac{6}{x}}\leq \frac{1}{9}\left ( z+\frac{6}{x}+6\sqrt{3} \right )$
Cộng 3 bđt trên ta được $VT\leq \frac{1}{9}\left ( \sum x+\sum \frac{6}{x}+18\sqrt{3} \right )$ (1)
Mà từ gt $x+y+z=xyz\leq \frac{1}{27}\left ( x+y+z \right )^{3}\Rightarrow x+y+z\geq 3\sqrt{3}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{x}=\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}\leq \frac{1}{3}\left ( x+y+z \right )$
$\Rightarrow (1)\leq \frac{1}{9}\left ( \sum x+\sum \frac{6}{x} \right )+2\sqrt{3}\leq \frac{1}{9}\left ( \sum x+6\frac{\sum x}{3}+6\sum x \right )=x+y+z$
$\Rightarrow Q.e.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 05-10-2012 - 21:03