Chủ đề này có 1 trả lời

[E. Galois]

Day 1
Câu 1
Cho hình chữ nhật $ABCD$. Dựng hai tam giác đều $BCX$ và $DCY$ sao cho hai tam giác có điểm chung ở miền trong của hình chữ nhật . Đường thẳng $AX$ cắt đường thẳng $CD$ tại $P$, $AY$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh $APQ$ là tam giác đều.

Câu 2
Một số nguyên dương được gọi là "lấp lánh" (shiny) nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên không nhất thiết phân biệt $a,b$ có tổng các chữ số bằng nhau. Ví dụ, số 2012 là một số lấp lánh, vì 2012 = 2005 + 7 và cả 2005 và 7 đều có tổng các chữ số là 7. Tìm tất cả các số nguyên dương không "lấp lánh".

Câu 3
Cho $n$ là một số nguyên dương. Xét tập hợp các số nguyên $A=\left \{ a_1;a_2;...;a_n \right \}$, ở đó $ a_{i}\in\{ 0, 1, 2, 3,\ldots, 2^{n}-1\}, \forall i$ Ta đặt tương ứng mỗi tập con của $A$ với tổng của các phần tử của nó, đặc biệt, tập rỗng được đặt tương ứng với 0. Nếu tất cả các tổng này có số dư khác nhau khi chia cho $2^n$ thì ta nói rằng tập $A$ là $n$-hoàn thành
Với mỗi $n$, tìm số các tập $n$-hoàn thành

Day 2

Câu 1
Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên sao cho số $a-b+c-d$ là số lẻ và nó chia hết $a^2-b^2+c^2-d^2$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, $a-b+c-d$ chia hết $a^n-b^n+c^n-d^n$


Câu 2
Cho tam giác $ABC$, $P$ và $Q$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua $A$ song song với $BC$ và các tia phân giác ngoài của góc $B$ và $C$. Đường thẳng vuông góc với $BP$ tại $P$ và đường thẳng vuông góc với $CQ$ tại $Q$ cắt nhau tại $R$. Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh $AI=AR$


Câu 3
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào chia hết cho tổng các chữ số của nó.

Theo http://www.artofprob....d=29&year=2012

[reddevil1998]

Câu 1 ,day 2:
Ta có : $(a+c)^{2}-(b+d)^{2}\vdots a-b+c-d$
Suy ra :$2(ac-bd)\vdots a-b+c-d$ ,do $gcd (2,a-b+c-d)$ ,vậy $ac-bd\vdots a-b+c-d$(1)

Ta Cm khẳng định bài toán bằng quy nạp
$n=1,2$ ,khẳng định đúng.
Giả sử khẳng định đúng đến $n=k$ .Theo giả thiết quy nạp ,ta có :$a^{k}-b^{k}+c^{k}-d^{k}\vdots a-b+c-d$ và $a^{k-1}-b^{k-1}+c^{k-1}-d^{k-1}\vdots a-b+c-d$(2)
Với $n=k+1$:
Trước hết ,ta có :$a+c\equiv b+d mod(a-b+c-d)$ và $a^{k}+c^{k}\equiv b^{k}+d^{k}mod (a-b+c-d)$ ,suy ra $(a+c)(a^{k}+c^{k})\equiv (b+d)(b^{k}+d^{k}) mod( a-b+c-d)$ ,tương đương :
$a^{k+1}+c^{k+1}+ac(a^{k-1}+c^{k-1})\equiv b^{k+1}+d^{k+1} +bd(b^{k-1}+d^{k-1})$
Như vậy ta cần cm :$ac(a^{k-1}+c^{k-1})\equiv bd(b^{k-1}+d^{k-1})$$ mod (a-b+c-d)$
Mà từ (1) ,ta có :$ac\equiv bd mod (a-b+c-d)$
Cũng từ (2) ,ta suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi reddevil1998: 14-02-2013 - 21:44