Chủ đề này có 3 trả lời

[dark templar]

Một bài toán hay và đơn giản
Bài toán: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.Tìm GTLN và GTNN của:
$$P=\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}$$

[WhjteShadow]

Một bài toán hay và đơn giản
Bài toán: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.Tìm GTLN và GTNN của:
$$P=\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}$$

@-) Bài toán này công nhận là hay và đẹp thật, tr0ng khi biểu thức là đối xứng nhưng dấu bằng ở cả max và min lại không xảy ra tại tâm.
Do thời gian có hạn nên e mới chỉ nghĩ ra GTNN
Để điểm rơi được đẹp,em đặt $\sqrt{3}a=x,\sqrt{3}b=y,\sqrt{3}c=z$.Lúc đó $x,y,z\geq 0,x^2+y^2+z^2=3$ và ta chỉ cần tìm min và max của biểu thức:
$$D=\frac{x}{3+yz}+\frac{y}{3+xz}+\frac{z}{3+xy}$$
Ta sẽ chứng minh $D\geq \frac{\sqrt{3}}{3}$
Thật vậy,áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\left(\sum \frac{x}{3+yz}\right).\left[\sum x^3(3+yz)\right]\geq (a^2+b^2+c^2)^2=9$$
Nên ta chỉ cần chứng minh:
$$x^3(3+yz)+y^3(3+xz)+z^3(3+xy)\leq 9\sqrt{3}$$
$$\Leftrightarrow 3(x^3+y^3+z^3)+(x^2+y^2+z^2)xyz\leq 9\sqrt{3}$$
$$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+xyz\leq 3\sqrt{3}$$
Không mất tính tổng quát giả sử $z$ là số nằm giữa $x,y$ ta có: $(z-y)(z-x)\leq 0\to z^2+xy\leq xz+yz$
$$\Rightarrow x^3+y^3+z^3+xyz\leq x^3+y^3+z(zy+zx)=(x+y)(x^2+y^2+z^2-xy)$$
Cuối cùng ta chỉ phải chỉ ra:
$$(x+y)(x^2+y^2+z^2-xy)\leq 3\sqrt{3}$$
$$\Leftrightarrow (x^2+y^2+2xy)(x^2+y^2+z^2-xy)^2\leq 27$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:
$$(x^2+y^2+2xy)(x^2+y^2+z^2-xy)^2\leq \frac{[(x^2+y^2+2xy)+2(x^2+y^2+z^2-xy)]^3}{27}$$
$$=\frac{(3x^2+3y^2+2z^2)^3}{27}\leq \frac{27(x^2+y^2+z^2)^3}{27}=27$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi tr0ng $x,y,z$ có 2 số bằng 0,1 số bằng $\sqrt{3}$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-10-2012 - 12:33

[Secrets In Inequalities VP]

Một bài toán hay và đơn giản
Bài toán: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.Tìm GTLN và GTNN của:
$$P=\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}$$

Hình như Đạt lỗi ở đâu đó
Ta có : $a+abc\leq a+\frac{a(b^2+c^2)}{2}= a+\frac{a(1-a^2)}{2}= 1-\frac{(a-1)^2(a+2)}{2}\leq 1$
Tương tự suy ra
$VT= \frac{a^2}{a+abc}+\frac{b^2}{b+abc}+\frac{c^2}{c+abc}\geq a^2+b^2+c^2= 1$
--------------------------------------------
:'( Chả hiểu nay đầu óc tớ sa0 ấy,cứ đi dồn biến với ....@!#!@!@%%%#@^@#%@#%

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 10-10-2012 - 19:37

[Secrets In Inequalities VP]

Một bài toán hay và đơn giản
Bài toán: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.Tìm GTLN và GTNN của:
$$P=\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}$$

Và Max thì có lẽ thế này
Ta sẽ chứng minh $(a+b+c)^2\leq 2(1+bc)^2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\leq 2+2b^22c^2+4bc$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\leq 2(a^2+b^2+c^2)+2b^22c^2+4bc$
$\Leftrightarrow (b+c-a)^2+2b^2c^2\geq 0$
Luôn đúng .
Do đó $1+bc\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$
Tương tự ta có 2 kết quả nữa suy ra
$VT\leq \frac{a\sqrt{2}}{a+b+c}+\frac{b\sqrt{2}}{a+b+c}+\frac{c\sqrt{2}}{a+b+c}= \sqrt{2}$