$\frac{x_1x_2}{x_3}+\frac{x_2x_3}{x_4}+...+\frac{x_nx_1}{x_2}\geq x_1+x_2+...+x_n$
Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho bất đẳng thức trên đúng với mọi $x_1, x_2 , ... , x_n$ là các số thực dương .
Tìm n thoả mãn bất đẳng thức
Bắt đầu bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME, 11-10-2012 - 21:57
#2
Đã gửi 22-10-2012 - 21:37
PRONOOBCHICKENHANDSOME
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Lời giải :
n=1 , n=2 , n=3 đều thỏa mãn ( dễ dàng chứng minh )
Ta chứng minh $\forall n \geq 4 $ thì bất đẳng thức trên không thỏa mãn .
Thật vậy , cố định $x_2 , x_3 , ... , x_n$ . Cho $x_1$ dần đến vô cùng :
$\Rightarrow \lim_{x_1 \to \infty} \frac{VT}{x_1} = \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_n}{x_2} $
và : $\lim_{x_1 \to \infty} \frac{VP}{x_1} = 1 $
Vậy với $\frac{x_2}{x_3} + \frac{x_n}{x_2} < 1 $ thì sẽ tồn tại giá trị $x_1$ sao cho $VT < VP$
Vậy bất đẳng thức trên không đúng với mọi $x_1 , x_2 ,...,x_n$ dương nếu $n\geq 4$
ĐPCM.
Vậy tất cả các giá trị của n là : 1,2,3.
Bài 2 :
CMR : với mọi n tự nhiên , $n\geq 3 $ , với mọi dãy $x_n$ dương tăng ( tức là $0 < x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$) thì bất đẳng thức trên đúng
n=1 , n=2 , n=3 đều thỏa mãn ( dễ dàng chứng minh )
Ta chứng minh $\forall n \geq 4 $ thì bất đẳng thức trên không thỏa mãn .
Thật vậy , cố định $x_2 , x_3 , ... , x_n$ . Cho $x_1$ dần đến vô cùng :
$\Rightarrow \lim_{x_1 \to \infty} \frac{VT}{x_1} = \frac{x_2}{x_3} + \frac{x_n}{x_2} $
và : $\lim_{x_1 \to \infty} \frac{VP}{x_1} = 1 $
Vậy với $\frac{x_2}{x_3} + \frac{x_n}{x_2} < 1 $ thì sẽ tồn tại giá trị $x_1$ sao cho $VT < VP$
Vậy bất đẳng thức trên không đúng với mọi $x_1 , x_2 ,...,x_n$ dương nếu $n\geq 4$
ĐPCM.
Vậy tất cả các giá trị của n là : 1,2,3.
Bài 2 :
CMR : với mọi n tự nhiên , $n\geq 3 $ , với mọi dãy $x_n$ dương tăng ( tức là $0 < x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$) thì bất đẳng thức trên đúng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 22-10-2012 - 21:40
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
