Chủ đề này có 4 trả lời

[minhson95]

Cho a,b,c>0 CMR:

$\sqrt{\frac{a^2}{b^2+(c+a)^2}}+ \sqrt{\frac{b^2}{c^2+(a+b)^2}}+ \sqrt{\frac{c^2}{a^2+(b+c)^2}} \leq \dfrac{3}{\sqrt{5}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 12-10-2012 - 11:55

[dark templar]

Phương pháp tiếp tuyến có thể giải quyết được bài toán này
Với tính thuần nhất,ta giả sử $a+b+c=1$.Khi đó BĐT tương đương:$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2b^2-2b+1}} \le \frac{3}{\sqrt{5}}$.
Ta sẽ chứng minh rằng:
$$\frac{1}{\sqrt{2b^2-2b+1}} \le \frac{3(3b+4)}{5\sqrt{5}} \iff (18b^2+42b+19)(1-3b)^2 \ge 0$$
Đây là điều luôn đúng.Vậy:
$$VT \le \frac{3}{5\sqrt{5}}\sum_{cyc}a(3b+4)=\frac{3}{5\sqrt{5}}[3(ab+bc+ca)+4] \le \frac{3}{5\sqrt{5}}[(a+b+c)^2+4]=\frac{3}{\sqrt{5}}=VP$$
Điều phải chứng minh.
P/s:Vẫn tồn tại lời giải bằng C-S ,gợi ý là hãy chứng minh BĐT sau:$\sum_{cyc}\frac{a}{2a+b+2c} \le \frac{3}{5}$.

[Katyusha]

P/s:Vẫn tồn tại lời giải bằng C-S ,gợi ý là hãy chứng minh BĐT sau:$\sum_{cyc}\frac{a}{2a+b+2c} \le \frac{3}{5}$.

Theo gợi ý của bác

Bằng Cauchy-Schwarz ta có: $$b^2+(c+a)^2 = b^2 +4(\dfrac{c+a}{2})^2 \ge \dfrac{(2a+b+2c)^2}{5}$$
Do đó:
$$VT \le \sum\dfrac{\sqrt{5}a}{2a+b+2c}$$
Như thế ta quy về chứng minh:
$$\sum\dfrac{a}{2a+b+2c} \le \dfrac{3}{5}$$
Hay:
$$\sum \left( 1-\dfrac{2a}{2a+b+2c} \right) \ge 3-\dfrac{6}{5}$$
$$\Leftrightarrow \sum\dfrac{b+2c}{2a+b+2c} \ge \dfrac{9}{5}$$
Lại theo Cauchy-Schwarz:
$$\sum\dfrac{b+2c}{2a+b+2c} \ge \dfrac{(3a+3b+3c)^2}{\sum(b+2c)(2a+b+2c)}=\dfrac{9(a+b+c)^2}{5(a^2+b^2+c^2)+10(ab+bc+ca)}=\dfrac{9}{5}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 13-10-2012 - 06:36

[tim1nuathatlac]

Cho a,b,c>0 CMR:

$\sqrt{\frac{a^2}{b^2+(c+a)^2}}+ \sqrt{\frac{b^2}{c^2+(a+b)^2}}+ \sqrt{\frac{c^2}{a^2+(b+c)^2}} \leq \dfrac{3}{\sqrt{5}}$

Dựa trên ý tưởng của anh Phúc

Chuẩn hóa cho $a+b+c=1$

khi đó $Q.e.D\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{2b^{2}-2b+1}}\leq \frac{3}{\sqrt{5}}$

$VT^{2}\leq \left ( a+b+c \right )\left ( \sum \frac{a}{2b^{2}-2b+1} \right )$

Mặt khác ta có $\frac{1}{2t^{2}-2t+1}\leq \frac{9}{5}+\frac{54}{3}\left ( t-\frac{1}{3} \right )$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{2b^{2}-2b+1}\leq \frac{9}{5}\Rightarrow VT\leq \frac{3}{\sqrt{5}}$ $\square$

[minhson95]

Cho mình hỏi Q.E.D là cái gì mà các bạn dùng nhiều thế?
--------------------
Nó là "Điều phải chứng minh" bạn ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 16-10-2012 - 14:50