Chủ đề này có 1 trả lời

[minhson95]

Cho a,b,c>0 CMR:

$\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}} \leq \frac{ab+bc+ca}{\sqrt{2abc}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 12-10-2012 - 11:51

[WhjteShadow]

Cho a,b,c>0 CMR:

$\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}} \leq \frac{ab+bc+ca}{\sqrt{2abc}}$

Nhận thấy đây là 1 bất đẳng thức hoán vị và chứa căn,ta sẽ sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ để đưa nó về dạng đối xứng và phá căn:
$$\left(\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\right)^2\leq [\sum a(a+c)]\left[\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}\right]$$
Tiếp the0 ta sẽ chứng minh:
$$[\sum a(a+c)]\left[\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}\right]\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc}$$
Giả sử $c=Min(a;b;c)$.Ta biến đổi bất đẳng thức:
$$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca).\frac{ab+bc+ca}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{ab+bc+ca}-1\leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2(ab+bc+ca)}-1\leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}-1$$
$$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(a-c)(b-c)}{4(ab+bc+ca)}\leq \frac{2c(a-b)^2+(a+b)(a-c)(b-c)}{8abc}$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2.\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{ab+bc+ca}\right)+(a-c)(b-c).\left(\frac{a+b}{2abc}-\frac{1}{ab+bc+ca}\right)\geq 0$$
Nhưng bất đẳng thức này luôn đúng do $c=Min(a;b;c)$ và $ab+bc+ca\geq ab\\ab+bc+ca\geq ca\\ab+bc+ca\geq bc$
Vậy ta có điều phải chứng minh.Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 12-10-2012 - 15:23