Cho a,b,c>0 CMR:
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3$
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3$
Bắt đầu bởi minhson95, 12-10-2012 - 11:53
#2
Đã gửi 12-10-2012 - 12:11
BoFaKe
-
- Thành viên
-
- 613 Bài viết
Thiếu úy
Sau khi khai triển vế trái ta được :Cho a,b,c>0 CMR:
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-6$
Viết bất đẳng thức lại:
$\frac{(a-b)^{2}}{ab}+\frac{(b-c)^{2}}{bc}+\frac{(c-a)^{2}}{ac}\geq \frac{4((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))}{ab+bc+ca}$
Đến đây dùng SOS là ra.
- BoBoiBoy và Mai Xuan Son thích
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~
#3
Đã gửi 12-10-2012 - 12:32
Secrets In Inequalities VP
-
- Thành viên
-
- 309 Bài viết
Sĩ quan
Đã khai triển ra thì cần gì S.O.S nữa nhềCho a,b,c>0 CMR:
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3$
Bất đẳng thức tương đương với
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-6$
$\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+2)+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2)\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(c+a)^2}{ca}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$
Hiển nhiên đúng theo $Cauchy-Schwarz$
- minhson95, ducthinh26032011, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
