Chủ đề này có 7 trả lời

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài 1
Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+2m-3$. Tìm các giá trị của $m$ để hàm số có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $1$.

Bài 2 (5 điểm)
1) Giải phương trình: $\sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1.$
2) Giải hệ phương trình : $\begin{cases} x^3(3y-2)=-8 \\ x(y^3+2)=-6\end{cases}$

Bài 3 (4 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$$y=\sqrt{x^2+3x+9}+\sqrt{x^2-3x+9}$$
2) Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn $a+b+ab=3.$ Chứng minh rằng:
$$\dfrac{4a}{b+1}+\dfrac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab} \ge 4.$$

Bài 4 (5 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N là hai điểm lần lượt trên các đoạn thẳng AB và AD (M,N không trùng A) sao cho $\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{2AD}{AN}=4.$
1) Chứng minh rằng khi M,N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
2) Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN.
Chứng minh rằng: $\dfrac{2}{3} \le \dfrac{V'}{V} \le \dfrac{3}{4}.$

Bài 5 (4 điểm)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi : $\begin{cases} u_1=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2u_n-1}\end{cases}, \ \ n \ge 1, n\in \mathbb{N}.$
1) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ giảm và bị chặn.
2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $(u_n).$
Nguồn:Mathscope.org

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 15-10-2012 - 18:30

[shinichi2095]

Bài 1 ra m=1 và m=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
Bài 2
1,x=1
2.(x,y)=(1,-,2);(-2,1)
Bài 3 min y=$3\sqrt{2}$
Bài 5 ra $u_{n+1}=\frac{2^{2^{n}}}{2^{2^{n}}-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichi2095: 15-10-2012 - 17:47

[T M]

Bài 2 (5 điểm)
1) Giải phương trình: $\sqrt{5x-1}+\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1.$
2) Giải hệ phương trình : $\begin{cases} x^3(3y-2)=-8 \\ x(y^3+2)=-6\end{cases}$

Bài này trước

Phần 1.

$$pt\Leftrightarrow \left ( \sqrt{5x-1}-2 \right )+\left ( \sqrt[3]{9-x}-2 \right )=2x^2+3x-5\\ \\ \, \, \, \Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left [ \frac{1}{\sqrt{5x-1}+2}-\frac{1}{\left ( 9-x \right )^\frac{2}{3}+2\sqrt[3]{9-x}+4}-2\left ( x+\frac{5}{2} \right ) \right ]=0$$

Dựa vào điều kiện xác định ta có $x \geq \frac{1}{5}$ nên

$$\frac{1}{\sqrt{5x-1}+2} <\frac{1}{2}\, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, 2\left ( x+\frac{5}{2} \right )\geq \frac{27}{5}>\frac{1}{2}$$

Ngoặc lớn vô nghiệm.

Phần 2.

$$hpt\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3y-2=\frac{-8}{x^3} & & \\ y^3+2=\frac{-6}{x} \end{matrix}\right.\Rightarrow y^3+3y=\left ( \frac{-2}{x} \right )^3+3.\left ( \frac{-2}{x}\right )$$

Đến đây coi như xong

[T M]

Bài 3 (4 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
$$y=\sqrt{x^2+3x+9}+\sqrt{x^2-3x+9}$$

Có

$$y=\sqrt{\left ( x+\frac{3}{2} \right )^2+\frac{27}{4}}+\sqrt{\left ( \frac{3}{2}-x \right )^2+\frac{27}{4}} \geq \sqrt{3^2+\left ( 2.\frac{\sqrt{27}}{2} \right )^2} =6$$

Để trình bày đúng chương trình mà không phải chứng minh bổ đề (BĐT Minkopski) thì tốt nhất là đưa về tọa độ

Đẳng thức xảy ra khi $x=0$.

[minhtuyb]

Bài 5 (4 điểm)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi : $\begin{cases} u_1=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2u_n-1}\end{cases}, \ \ n \ge 1, n\in \mathbb{N}.$
1) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ giảm và bị chặn.
2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số $(u_n).$
Nguồn:Mathscope.org

*C/m $u_n>1 \forall n\ge 1$:
+) C/m $u_n\ge 1\forall n\ge 1 $
- $n=1$ thì mệnh đề đúng
- Giả sử mệnh đúng với $n=k-1$. Ta sẽ c/m mệnh đề đúng với $n=k$:
Xét hiệu : $u_{k+1}-1=\dfrac{u_k^2}{2u_k-1}-1=\dfrac{(u_k-1)^2}{2u_k-1}\ge 0\Rightarrow u_{k+1}\ge 1\ (\ Do 2u_k-1\ge 1>0)$
Vậy theo nguyên lí quy nạp $u_n\ge 1\forall n\ge 1 $

+) C/m $\not\exists u_k=1$
Phản chứng: Giả sử $\exists u_k=1\Leftrightarrow \dfrac{u_{k_1}^2}{2u_{k-1}-1}=1\Leftrightarrow (u_{k-1}-1)^2=0\Leftrightarrow u_{k-1}=1$
$$\Rightarrow u_k=u_{k-1}=...=u_2=u_1=1$$
Mâu thuẫn với $u_1=2$

Vậy $u_n>1 \forall n\ge 1$

*C/m $n$ giảm:
Vì $u_n>1\Rightarrow \dfrac{u_n}{2u_n-1}<1\Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{u_n}= \dfrac{u_n}{2u_n-1}<1\Rightarrow u_{n+1}<u_n$

Vậy dãy số đã cho giảm và bị chặn dưới bởi 1.

*CTTQ: Ta sẽ c/m quy nạp:
$$u_n=\dfrac{coth(2^{n-1}.coth^{-1}(3) )+1}{2}$$
...

Bài 3 (4 điểm)

2) Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn $a+b+ab=3.$ Chứng minh rằng:
$$S=\dfrac{4a}{b+1}+\dfrac{4b}{a+1}+2ab-\sqrt{7-3ab} \ge 4.$$

-Từ giả thiết suy ra $0<ab\le 1$ và $(a+1)(b+1)=4$
-Có:
$$S=\dfrac{4a^2+4+4b^2+4}{(a+1)(b+1)} +2ab-\sqrt{7-3ab}\ge 4\\\Leftrightarrow a^2+b^2+2+2ab-\sqrt{7-3ab}\ge 4$$
Vì $a^2+b^2\ge 2ab$ nên ta cần c/m:
$$4ab-\sqrt{7-3ab}\ge 2$$
Đặt $t=ab\Rightarrow 0<t\le 1$, đến đây ta chỉ việc KSHS $f(t)=4t-\sqrt{7-3t}$ trên $(0;1]$ ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 15-10-2012 - 20:45

[hoangtrong2305]

Bài 1
Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+2m-3$. Tìm các giá trị của $m$ để hàm số có ba cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $1$.

$y=x^4-2mx^2+2m-3$

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

$y'=4x^{3}-4mx$

Để số có 3 cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt

$4x(x^{2}-m)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=\sqrt{m}\\ x=-\sqrt{m} \end{bmatrix};(m>0)$

Khi đó toạ độ 3 cực trị là:

$\left\{\begin{matrix} A(0;2m-3)\\ B(\sqrt{m};-m^{2}+2m-3)\\ C(-\sqrt{m};-m^{2}+2m-3) \end{matrix}\right.$

Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A$

Giả sử $I$ là trung điểm $BC\Rightarrow I(0;-m^{2}+2m-3)$

Giả sử $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, ta có:

$OI=AI-AO=AI-1$

$OC^{2}=OI^{2}+IC^{2}$

$\Leftrightarrow (AI-1)^{2}+IC^{2}=1$ (1)

Mà $\left\{\begin{matrix} AI=\sqrt{m^{4}}=m^{2}\\ IC=\sqrt{m} \end{matrix}\right.$

Thay vào $(1)\Leftrightarrow (m^{2}-1)^{2}+m=1$

$\Leftrightarrow (m-1)^{2}(m+1)^{2}+m-1=0$

$\Leftrightarrow (m-1)[(m^{2}-1)(m+1)+1]=0$

$\Leftrightarrow m(m-1)(m^{2}+m-1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} m=0\\ m=1\\ m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ m=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix}$

So điều kiện, nhận $\begin{bmatrix} m=1\\ m=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 20-10-2012 - 22:35

[ongtrum1412]

Bài này trước

Phần 1.

$$pt\Leftrightarrow \left ( \sqrt{5x-1}-2 \right )+\left ( \sqrt[3]{9-x}-2 \right )=2x^2+3x-5\\ \\ \, \, \, \Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left [ \frac{1}{\sqrt{5x-1}+2}-\frac{1}{\left ( 9-x \right )^\frac{2}{3}+2\sqrt[3]{9-x}+4}-2\left ( x+\frac{5}{2} \right ) \right ]=0$$

Dựa vào điều kiện xác định ta có $x \geq \frac{1}{5}$ nên

$$\frac{1}{\sqrt{5x-1}+2} <\frac{1}{2}\, \, \, \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \, 2\left ( x+\frac{5}{2} \right )\geq \frac{27}{5}>\frac{1}{2}$$

Ngoặc lớn vô nghiệm.

Phần 2.

$$hpt\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3y-2=\frac{-8}{x^3} & & \\ y^3+2=\frac{-6}{x} \end{matrix}\right.\Rightarrow y^3+3y=\left ( \frac{-2}{x} \right )^3+3.\left ( \frac{-2}{x}\right )$$

Đến đây coi như xong

Phần 2: Nhân 2 vế phương trình (1) của hệ với x^2 ,sau đó cộng với phương trình (2),được ngay xy=-2.Xong

[xuanha]

sao mình gửi 2 bài sao hôm nay mất rồi.k thấy nữa