Chủ đề này có 2 trả lời

[Karl Vierstein]

Thu gọn các biểu thức với $n\in \mathbb{N^*} \ , \ k\in \mathbb{Z}$:

a) $A=\dfrac{1}{sinx}+\dfrac{1}{sin2x}+\dfrac{1}{sin4x}+...+\dfrac{1}{sin2^{n-1}x}$ với $2^{n-1}x\neq k\pi$;

b) $B=sin^3\dfrac{x}{3}+3sin^3\dfrac{x}{3^2}+...+3^{n-1}sin^3\dfrac{x}{3^n}$;

c) $C=tan^2\dfrac{x}{2}tanx+2tan^2\dfrac{x}{2^2}+...+2^{n-1}tan^2\dfrac{x}{2^n}tan\dfrac{x}{2^{n-1}}$;

d) $D=cosx+cos3x+...+cos\left ( 2n-1 \right )x$;

e) $E=\dfrac{1}{4cos^2\dfrac{x}{2}}+\dfrac{1}{4^2cos^2\dfrac{x}{2^2}}+...+\dfrac{1}{4^ncos^2\dfrac{x}{2^n}}$;

f) $F=cos\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2^2}...cos\dfrac{x}{2^n}$.

[dark templar]

Thu gọn các biểu thức với $n\in \mathbb{N^*} \ , \ k\in \mathbb{Z}$:

a) $A=\dfrac{1}{sinx}+\dfrac{1}{sin2x}+\dfrac{1}{sin4x}+...+\dfrac{1}{sin2^{n-1}x}$ với $2^{n-1}x\neq k\pi$;
f) $F=cos\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2^2}...cos\dfrac{x}{2^n}$.

Làm được đến đâu hay tới đó
$$F\sin{\frac{x}{2^{n}}}=\cos{\frac{x}{2}}...\frac{\sin{\frac{x}{2^{n-1}}}}{2}=\frac{\sin{x}}{2^{n}} \implies F=\frac{\sin{x}}{2^{n}\sin{\frac{x}{2^{n}}}}$$
Ta dễ dàng có hệ thức sau:
$$\frac{1}{\sin{2^{k}x}}=\frac{1+\cos{2^{k}x}-\cos{2^{k}x}}{\sin{2^{k}x}}=\cot{2^{k-1}x}-\cot{2^{k}x}$$
Vậy nên:
$$A=\cot{\frac{x}{2}}-\cot{x}+...-\cot{2^{k}x}=\cot{\frac{x}{2}}-\cot{2^{k}x}$$

[dark templar]

Thu gọn các biểu thức với $n\in \mathbb{N^*} \ , \ k\in \mathbb{Z}$:
b) $B=sin^3\dfrac{x}{3}+3sin^3\dfrac{x}{3^2}+...+3^{n-1}sin^3\dfrac{x}{3^n}$;

e) $E=\dfrac{1}{4cos^2\dfrac{x}{2}}+\dfrac{1}{4^2cos^2\dfrac{x}{2^2}}+...+\dfrac{1}{4^ncos^2\dfrac{x}{2^n}}$;

Có thể xem câu b ở topic này
Còn câu e mình nghĩ xuất phát từ việc thu gọn biểu thức $\prod_{k=1}^{n}\sin{\frac{x}{2^{k}}}$ .