Đề chọn Đội tuyển Bắc Ninh năm 2012-2013
Câu 1. Giải phương trình:
$$\log_{2+\sqrt{5}}(x^2-2x-2012)=\log_{2\sqrt{2+\sqrt{5}}}(x^2-2x-2013)$$
Câu 2. Giả sử hàm số $f:\mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn: $f(9x)+2012f(3x)=2013f(x) \forall x\in \mathbb{R}^{+}$
Chứng minh tồn tại số thực $k>1$ để $f(kx)=f(x) \forall x\in \mathbb{R}^{+}$.
Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $E$ là chân đường cao hạ từ $B$ xuống cạnh $AC$. Vẽ các hình bình hành $PAQB$ và $PARC$, $AQ$ giao với $HR$ tại $X$. Chứng minh $EX$ song song với $AP$.
Câu 4. Tìm sáu số nguyên tố $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6$ thỏa mãn: $$p^2_6=p^2_1+p^2_2+p^2_3+p^2_4+p^2_5$$
Câu 5. Trong một cuộc thi có $m$ thí sinh và $n$ giám khảo ($m\in \mathbb{N}^{*}, n\in \mathbb{N}, n\ge 3, n$ lẻ). Giả sử $k\in \mathbb{N}^{*}$ là số sao cho 2 giám khảo bất kì cho không quá $k$ thí sinh đánh giá giống nhau (giám khảo đánh giá thí sinh 'đạt' hoặc 'không đạt'). Chứng minh : $\frac{k}{m}>\frac{n-1}{2n}$.
