Chủ đề này có 9 trả lời

[Crystal]

CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012-2013

Ngày 1

Câu 1: Giải phương trình $$ x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2012}=2012 $$
Câu 2: Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi công thức
$$ \begin{cases} u_{1}=3 \\ u_{n+1}=\frac{1}{3}\left ( 2u_{n}+\frac{3}{u_{n}^2} \right )\end{cases}$$
Tìm $\lim u_{n}$
Câu 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ chứng minh rằng
$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{36}{9+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2} $$
Câu 4: Cho tam giác $ABC, M$ là trung điểm $BC, N$ là chân đường cao phân giác góc $\widehat{BAC}$. Đường thẳng vuông góc với $NA$ tại $N$ cắt các đường thẳng $AB, AM$ lần lượt tại $P, Q$ theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $P$ cắt $AN$ tại $O$. Chứng minh $OQ$ vuông góc $BC$.

Câu 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$$ \sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

[Crystal]

CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012-2013

Ngày 2

Câu 1:

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} x^3 - 3x^2 + 5x + 1 = 4y \\ y^3 - 3y^2 + 5y + 1 = 4z \\ z^3 - 3z^2 + 5z + 1 = 4x \end{cases}$$
Câu 2:
Cho $ x , y $ thỏa mãn $x^2 + y^2 = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$M = x^2(x + 2) + y^2(y + 2) + 3(x + y)(xy - 4)$$
Câu 3:
Tìm tất cả các hàm số $f: N* \rightarrow N*$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1) Với mọi $m , n \in N*$ : $n < m \Leftrightarrow f(n) < f(m)$
2) $f(2n) = f(n) + n$ với mọi $ n \in N*$
3) Nếu $f(n)$ là số chính phương thì $n$ là số chính phương.

Câu 4:
Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $DB, AC$. Trên đường thẳng $AB$ lấy điểm $P$, trên đường thẳng $DN$ lấy điểm $Q$ sao cho $PQ \parallel CM$. TÍnh độ dài $PQ$ và thể tích khối $AMNP$.

Câu 5:
Cho đa giác đều $n$ cạnh ($n \ge 8$). Tính số tứ giác có $4$ cạnh là $4$ đường chéo của đa giác đã cho.

[perfectstrong]

Ngày 1: Câu 4:
http://diendantoanho...p-bc-apmo-1999/

[tramyvodoi]

câu 3: ngày 1
ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
$\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$
$\geq \frac{36}{12\sqrt[3]{abc}}$
$\geq \frac{36}{12\sqrt[12]{(abc)^{4}}}$
$\geq \frac{36}{12\sqrt[12]{(ab)^{2}(bc)^{2}(ca)^{2}1.1.1.1.1.1.1.1.1}}$
$\geq \frac{36}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+9}$

[tramyvodoi]

dễ thấy
ta có $u_{n+1}=\frac{1}{3}(2u_{n}+\frac{3}{u_{n}^{2}})$
=$\frac{1}{3}(u_{n}+u_{n}+\frac{3}{u_{n}^{2}})$
$\geq \sqrt{3}$
=>$u_{n}\geq \sqrt{3}$
chứng minh $u_{n+1}-u_{n}<0$
.dãy giảm, dãy bị chặn dưới nên dãy có lim hữu hạn

[T M]

CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012-2013

Ngày 2

Câu 1:

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} x^3 - 3x^2 + 5x + 1 = 4y \\ y^3 - 3y^2 + 5y + 1 = 4z \\ z^3 - 3z^2 + 5z + 1 = 4x \end{cases}$$

Giải.

Giả sử $x=max\left \{ x;y;z \right \}$

Xét $f(t)=t^3-3t^2+5t+1\rightarrow f'(t)=3t^2-6t+5>0$

Từ đây suy ra $f(x)\geq f(z)\Rightarrow y \geq x\Rightarrow y=x$

Tương tự, ta suy ra được $x=y=z$.

[T M]

Câu 2:
Cho $ x , y $ thỏa mãn $x^2 + y^2 = 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$M = x^2(x + 2) + y^2(y + 2) + 3(x + y)(xy - 4)$$

Giải.

Đây là bất đẳng thức đối xứng quen thuộc

Biến đổi

$$M=\left ( x^3+y^3 \right )+2\left ( x^2+y^2 \right )+3(x+y)(xy-4) \\

=(x+y)(2-xy)+3(x+y)(xy-4)+4$$

Đặt $x+y=t$, từ đề bài ta có $x^2+y^2=2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} \Rightarrow -2 \leq x+y \leq 2\Rightarrow -2\leq t \leq 2$

Bài toán đưa về khảo sát hàm

$$f(t)=t\left ( 2-\frac{t^2-2}{2} \right )+3t\left ( \frac{t^2-2}{2}-4 \right )+4\, \, \, \,\, \, \, ; t\in [-2;2]\\ \\

$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 16-10-2012 - 22:55

[tramyvodoi]

có ai giải bài hình ngày 1 k?

[tramyvodoi]

ta có $x+2\sqrt3=y+z+2\sqrt{yz}$
=>$x=y+z, yz=3$
=>x=4. y=3,z=1 hay x=4, y=1, z=3

[Ke Vo Tinh]

CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012-2013

Ngày 1

Câu 1: Giải phương trình $$ x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2012}=2012 $$

Đặt $a=x^{2n}$
Ta có :
$$(-a)^2-(-a)=\sqrt{a+2012}^2-\sqrt{a+2012}$$
Đến đây, mình còn thắc mắc điều kiện của $n$ là gì nhỉ.