Chủ đề này có 5 trả lời

[Crystal]

Đề thi chọn HSG lớp 12 TP Hải Phòng năm 2012-2013

Môn: Toán

Ngày thi: 16/10/2012

Câu 1: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}mx^2+4mx+15$
a/ Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(5;9)$
b/ Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị hàm số khi $m=2$. Lấy điểm A tùy ý trên $\left( C \right)$ và A nằm giữa 2 điểm cực trị hàm số. Chứng minh rằng luôn tìm được 2 điểm $M$ và $N$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ và $N$ vuông góc với tiếp tuyến tại $A$.

Câu 2:
a/ Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^2-x\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}}=2x-2 \\ \sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1 \end{cases}$

b/ Giải phương trình $\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=\cos x\cos 2x\cos 3x+2$

Câu 3: Cho khối tứ diện $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $A', B',C', D'$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC, CD, BD$.
a/ Chứng minh $A'B'C'D'$ là hình vuông.
b/ Tính thể tích khối đa diện $DAA'B'C'D'$ theo $a$.
c/ Nếu thay đổi đề bài trên bằng cách lấy $A', B', C', D'$ trên $AB, AC, CD, BD$ sao cho $AA'=AB'=DC'=DD'=\dfrac{a}{2b}; n\ge \dfrac{1}{2}$ thì thể tích khối đa diện $DAA'B'C'D'$ theo $a$ và $n $bằng bao nhiêu.

Câu 4: Cho tập $A=\left \{ x_{1},x_{2}..... x_{2013} \right \}$ là 1 hoán vị của tập $B={1;2;........;2013}$
Chứng minh rằng $M=(x_{1}-1)(x_{2}-2)...(x_{2013}-2013)$ chia hết cho $2$.

Câu 5: CHo tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp $(O)$ từ điểm $D$ trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn kẻ đường thẳng vuông góc $AD$, đường thẳng này cắt $BC$ tại $M$. Đường trung trực của đoạn thẳng $DM$ cắt các cạnh $AB,AC,BD,DM,MA$ lần lượt tại $E,F,N,K,I$. Chứng minh rằng
a/ $B,N,F,C$ nằm trên 1 đường tròn
b/ Tứ giác $AEMF$ là hình bình hành.

Câu 6: Cho 3 số thực $a,b,c \in [\alpha ;\beta ]$ mà $\beta -\alpha \le 2$. Chứng minh rằng
$$\sqrt{ab+1}+\sqrt{bc+1}+\sqrt{ac+1}>a+b+c$$

[Crystal]

BẢNG A

Bài 1. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))\;\;\;\forall x,y\in\mathbb{R}.$$
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M,$ $AM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $N$. Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của đường thằng vuông góc $NC$ tại $C$ với $(O)$ và $BN.$ $AP$ cắt $BC$ tại $R.$ Chứng minh rằng $Q,M,R$ thẳng hàng.

Bài 3. Cho $x,y,z\ge0$ là các số thực thỏa mãn $x+y+z=1.$ Chứng minh rằng
$$2(x^3+y^3+z^3)+x^2+y^2+z^2+18xyz\ge 1.$$
Bài 4. Cho dãy số $\{a_n\}$ thỏa mãn $a_0=-1,a_1=1,a_2=4$ và $a_{n+3}=\dfrac{a_{n+1}a_{n+2}-15}{a_n}\;\forall n\ge 0.$ Chứng minh rằng
$$\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac{a_{2k-1}+a_{2k}}{a_k^3-5a_k}=0.$$
Bài 5. Cho số nguyên tố $p.$ Tìm tất cả các số tự nhiên $n\ge3$ thỏa mãn với mọi $k\in\{1,2,\ldots,n-1\}$ ta luôn có ${n\choose k}$ chia hết cho $p.$

[Spin9x]

Đề thi chọn HSG lớp 12 TP Hải Phòng năm 2012-2013

Môn: Toán

Ngày thi: 16/10/2012

Câu 2:
a/ Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^2-x\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}}=2x-2 \\ \sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1 \end{cases}$

PT$(1) \Leftrightarrow y^2-x\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}}=2x-2$
$\Leftrightarrow
y^2+2-x=x(\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}} + 1)$
$\Leftrightarrow y^2+2-x = \frac{y^2+2-x}{(\sqrt{\dfrac{y^2+2}{x}} -1)}$
$\Leftrightarrow y^2=x-2$
hoặc
$y^2=4x-2$

[Ke Vo Tinh]

Bài 3. Cho $x,y,z\ge0$ là các số thực thỏa mãn $x+y+z=1.$ Chứng minh rằng
$$2(x^3+y^3+z^3)+x^2+y^2+z^2+18xyz\ge 1.$$

Đồng bậc, ta cần chứng minh :
$$2(x^3+y^3+z^3)+(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+18xyz\ge (x+y+z)^2 \Leftrightarrow x^2+y^3+z^3+3xyz+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$$
Đúng theo Schur và $xyz\ge 0$ Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2}, z=0$ và các hoán vị.

[mekjpdoj]

câu 3) a)
dùng đường trung bình và đường thẳng vuông góc mp. lấy thêm I là trung điểm BC

b) vận dụng tỉ lệ của đường trung bình, định lí talet
thay vì tính phần cần tìm, ta sẽ tính phần còn lại bằng cách chia làm 2 phần qua mp(AID), tiếp tục chia thành các khối chóp cho dễ tính. chiều cao cần thiết tính như sau:
lấy O là trọng tâm BCD=> AO vuông mp(BCD)
A'B' cắt AI tại K, Kẻ KH // AO => KH=AO/2 và KH vuông mp(BCD)
lấy E là giao điểm giữa C'D' và DI
từ đó tính được thể tích KICE , gọi là V1
kẻ IP vuông AD , dễ chứng minh được IP vuông A'B'C'D' tại Q. và IQ là khoảng cách từ BC đến A'B'C'D'
từ đó tính thể tích CB'C'EK , gọi là V2
V cần tìm = V - 2*(V1+V2) với V là thể tích ABCD

c) câu c) hoàn toàn tương tự câu b), chỉ khác tỉ lệ AA'/AB=1/(2n), dùng định lí talet làm tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mekjpdoj: 23-10-2012 - 09:29

[mrtutito]

Câu 4 : Tập B có 1006 chẵn => Tập A cũng có 1006 chẵn.
Giả sử M không chia hết cho 2 =>x_i-i không chia hết cho 2 =>x₁ x₃ ....x₂₀₁₃ chẵn=> Có 1007 số chẵn(vô lí)
Vậy đpcm