Chủ đề này có 1 trả lời

[Math Is Love]

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia trường THPT Chuyên ĐHSPHN năm 2012-2013
Ngày thi thứ nhất

Bài 1:
Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{4x+5}{x^{3}+xy^{2}+3xyz}\geq \frac{162}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+27}$
Bài 2:
Cho tứ giác $ABCD$ có $AB,CD$ cắt nhau ở $P$.Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $P$.Gọi $(O_{1})$ là đường tròn đi qua $A,B$ và $(O_{2})$ là đường tròn đi qua $C,E$.Lấy $O$ là trung điểm $O_{1}O_{2}$.Giả sử $(O_{1}),(O_{2})$ cắt nhau ở $X,Y$.Chứng minh rằng $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PXY$ khi và chỉ khi tứ giác $ABCD$ nội tiếp.
Bài 3:
Cho $p=6^{2^{n}}+1$ là một số nguyên tố với $n$ nà một số nguyên dương.
a,Chứng minh rằng:$6^{p-1}-1$ không chia hết cho $p^{2}$.
b,Giả sử $x,y$ là hai số thuộc tập hợp $\left \{ 2;3;4;...;\frac{p-1}{2} \right \}$ và thỏa mãn $x^{2}\equiv 36y^{2}$(mod p).Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một số nguyên dương $k$ sao cho $x^{2^{k}}+y^{2^{k}}$ là hợp số và chia hết cho $p$.
Bài 4:
Cho $2012$ số thực $x_{1};x_{2};...;x_{2012}$ đôi một khác nhau và thỏa mãn:$\sum ^{2012}_{i=1}x_{i}=0$.Chứng minh rằng tồn tại $C^{502}_{2011}$ bộ chỉ số $(i_{1};i_{2};...;i_{503})$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} 1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq ...\leq i_{503}\leq 2012\\ x_{i_{1}}+x_{i_{2}}+...+x_{i_{503}}\geq 0 \end{matrix}\right.$

[Ke Vo Tinh]

Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia trường THPT Chuyên ĐHSPHN năm 2012-2013
Ngày thi thứ nhất

Bài 1:
Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=3$.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{4x+5}{x^{3}+xy^{2}+3xyz}\geq \frac{162}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+27}$

$$\sum\dfrac{4x+5}{x^3+xy^2+3xyz} =\sum \dfrac{4+\dfrac{5}{x}}{x^2+y^2+3yz} \ge \dfrac{\left (\sum \sqrt{4+\dfrac{5}{x}}\right )^2}{2(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+zx)} \ge \dfrac{2.\left (\sum \dfrac{3}{\sqrt[18]{x}}\right )^2}{x^2+y^2+z^2+27} \ge \dfrac{2.27^2}{(\sqrt[18]{x}+\sqrt[18]{y}+\sqrt[18]{z})^2(x^2+y^2+z^2+27} \ge \dfrac{2.27^2}{9.(x^2+y^2+z^2+27)} =\dfrac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$$