Chủ đề này có 5 trả lời

[tkvn97]

SỞ GIÁO DỤC VẦ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT NHƯ THANHKhối 12 . Năm học 2012 - 2013

Môn thi : Toán - Thời gian làm bài : 180 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (4 điểm)
Cho hàm số : $y = x^{4}-2mx^{2}+m-1 (1)$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .

b) Tìm tất cả các giá trị của m đề đồ thị hàm số của (1) có ba điểm cực trị và các điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 .

Câu 2 . (6 điểm)

1. Giải phương trình : $\sqrt{2(x^{2}-1)}+\sqrt{x^{2}-4x+3}=2x-2$

2. Giải phương trình :

3. Tìm giới hạn : $I = \lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}(\sqrt{\frac{x+2}{x}}-\sqrt[3]{\frac{x+3}{x}})$

Câu 3. (2 điểm) Từ các chữ số 0 ,1 ,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ sô khác nhau , trong đó luôn có mặt chữ số 1 và 2 .

Câu 4. (6 điểm)
1. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng $d_{1}: x-y=1$ và $d_{2}: 2x+y-1=0$ . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết $A\in d_{1} ; C\in d_{2} ; B,D\in Ox$ .

2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , $\widehat{BAD} = 60^{0}$ , SA vuông góc với mp (ABCD) , SA = a . Gọi C' là trung điểm của SC . Mặt phẳng (P) đi qua AC' song song với BD , cắt các cạnh SB , SB của hình chóp lần lượt tại B' , D' . Tính diện tích khối chóp S.A'B'C'D'.

Câu 5. (2 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thay đổi thỏa mãn : $x,y,z\in \begin{bmatrix} 0;1 \end{bmatrix}$ và $x+y+z=\frac{3}{2}$ . Tìm GTLN của biểu thức P = $cos(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Nguồn : Lê Thu Phương- Lớp 11A1 - trường THPT Như Thanh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 19-10-2012 - 18:57

[tkvn97]

Spam : Chỉ giúp mình dấu pi để đánh nốt câu GPT

[Ispectorgadget]

Câu 3. (2 điểm) Từ các chữ số 0 ,1 ,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ sô khác nhau , trong đó luôn có mặt chữ số 1 và 2 .
Gọi số cần tìm là $n=\overline{abcd}$
Số các số có 4 chữ số khác nhau là 720 cách
Số các số có 4 chữ số khác nhau không có 1 và 2 là 96 số
+ Có 1 mà không có 2:
Có 4 cách sếp số 1. Và có $A_4^3$ cách sếp 3 số còn lại
TH này có $4.A_4^3$ cách
+ Có 2 mà không có 1
Tương tự trên TH này có $4.A_4^3$ cách.
Vậy ta có thể lập được $720-8A_4^3 -96$ cách
Câu 5. (2 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thay đổi thỏa mãn : $x,y,z\in \begin{bmatrix} 0;1 \end{bmatrix}$ và $x+y+z=\frac{3}{2}$ . Tìm GTLN của biểu thức P = $cos(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Do $x,y,z\in \left[ 0,1 \right]$ nên $0<{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}<x+y+z=\tfrac{3}{2}<\tfrac{\pi }{2}$ .

Vì hàm số $y=\cos \alpha $ nghịch biến trên $\left( 0,\tfrac{\pi }{2} \right)$ nên bài toán trở thành.

1. Tìm MaxS $\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)$

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\tfrac{1}{3}\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\ge {{\left( x+y+z \right)}^{2}}=\tfrac{3}{4}$.

Với $x=y=z=\tfrac{1}{2}$ thì MaxS = $\cos \tfrac{3}{4}$

2. Tìm min

Không mất tính tổng quát giả sử $z=Max\left\{ x,y,z \right\}\Rightarrow z\in \left[ \tfrac{1}{2};1 \right]$. Biến đổi và đánh giá đưa về tam thức bậc hai biến z

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{z}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy\ge {{z}^{2}}+{{\left( \tfrac{3}{2}-z \right)}^{2}}=2{{z}^{2}}-3z+\tfrac{9}{4}=f\left( z \right)$

Do đồ thị hàm y = f(z) là một parabol quay bề lõm lên trên nên ta có: $\operatorname{Max}f\left( z \right)=\operatorname{Max}\left\{ f\left( \tfrac{1}{2} \right);f\left( 1 \right) \right\}=f\left( \tfrac{1}{2} \right)=f\left( 1 \right)=\tfrac{5}{4}$.

Với $z=1;x=\tfrac{1}{2};y=0$ thì MinS = $\cos \tfrac{5}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-10-2012 - 19:17

[Mai Duc Khai]

Spam : Chỉ giúp mình dấu pi để đánh nốt câu GPT

Thì viết bình thường thôi

\pi

$\pi$

[donghaidhtt]

Câu 2 . (6 điểm)
1. Giải phương trình : $\sqrt{2(x^{2}-1)}+\sqrt{x^{2}-4x+3}=2x-2$

Điều kiện:
$\left\{\begin{matrix} VP\geq 0\\ \sqrt{2(x^{2}-1)}\geq 0\\ \sqrt{x^{2}-4x+3}\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ x^{2}-4x+3\geq 0\\ 2(x^{2}-1)\geq 0 \end{matrix}\right.$
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.
Xét $x>1$
ĐK:
$\left\{\begin{matrix} x> 1\\ x^{2}-4x+3\geq 0\\ 2(x^{2}-1)\geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x \geq 3$
Chia 2 vế phương trình cho $\sqrt{x-1}> 0$ Ta có:
$\sqrt{2(x+1)}+\sqrt{x-3}=2\sqrt{x-1}(1)\Leftrightarrow \sqrt{x-3}=\dfrac{4(x-1)-2(x+1)}{\sqrt{2(x+1)}+2\sqrt{x-1}}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=3\\ 1=\dfrac{2\sqrt{x-3}}{\sqrt{2(x+1)}+2\sqrt{x-1}} \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=3\\ 2\sqrt{x-3}=\sqrt{2(x+1)}+2\sqrt{x-1}(*) \end{bmatrix}$
Từ $(*),(1)$ có $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2(x+1)}+\sqrt{x-3}=2\sqrt{x-1}\\ 2\sqrt{x-3}=\sqrt{2(x+1)}+2\sqrt{x-1} \end{matrix}\right.\Rightarrow 3\sqrt{2(x+1)}=2\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 3\\ x=\frac{-11}{7} \end{matrix}\right.$ Không có nghiệm.
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\begin{Bmatrix} 1;3 \end{Bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 19-10-2012 - 20:40

[donghaidhtt]

Câu 4. (6 điểm)
1. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng $d_{1}: x-y=1$ và $d_{2}: 2x+y-1=0$ . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết $A\in d_{1} ; C\in d_{2} ; B,D\in Ox$ .

Đường chéo $BD$ thuộc $Ox$ nên $Ox$ là trung trực của $AC$.
$A$ thuộc $d_{1}$, $C$ thuộc $d_{2}$ nên gọi toạ độ $A (a;a-1), C (c; 1-2c)$ $\left\{\begin{matrix} x_{A}=x_{C}\\ y_{A}=-y_{C} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=c\\ a-1=2c-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=c=0$
Từ đó suy ra toạ độ $A(0;-1), C(0;1)$ suy ra tiếp $B(1;0), D(-1;0)$ hoặc $B(-1;0), D(1;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 19-10-2012 - 21:00