Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 20-10-2012 - 20:28
Chứng minh rằng $\sum \dfrac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\leq \dfrac{3}{2}$.
Bắt đầu bởi L Lawliet, 20-10-2012 - 20:28
#1
Đã gửi 20-10-2012 - 20:28
L Lawliet
-
- Thành viên
-
- 1624 Bài viết
Tiểu Linh
Bài toán: Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng: $\sum \dfrac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\leq \dfrac{3}{2}$.
- WhjteShadow, Karl Vierstein và Dramons Celliet thích
Thích ngủ.
#2
Đã gửi 20-10-2012 - 20:39
phatthientai
-
- Thành viên
-
- 134 Bài viết
Trung sĩ
Đặt $$\tan \frac{A}{2}=a,\tan \frac{B}{2}=b,\tan \frac{C}{2}=c$$ (vì $$\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}=1$$)Bài toán: Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng: $\sum \dfrac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\leq \dfrac{3}{2}$.
BĐT trở thành
$$\sum{\frac{\tan \frac{A}{2}}{\frac{1}{\cos \frac{A}{2}}}}=\sum{\sin \frac{A}{2}}$$, mà ta đã biết $$\sum{\sin \frac{A}{2}}\le \frac{3}{2}$$ nên ta có đpcm
- L Lawliet, donghaidhtt, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 20-10-2012 - 20:57
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
1 cách thuần Đại SốBài toán: Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng: $\sum \dfrac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\leq \dfrac{3}{2}$.
Để ý rằng $a^2+1=a^2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$ nên :$\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \le \frac{3}{2}$
Đây chỉ là hệ quả của AM-GM:
$$\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \le \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c} \right)$$
- L Lawliet, donghaidhtt, phatthientai và 3 người khác yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
