Chủ đề này có 3 trả lời

[longqnh]

Cho $a,b,c \geq 0$. CMR:

$\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{{c^2}+\frac{1}{a^2}} \geq 3\sqrt{2}$

(Thử sức trước kì thi lần 1 - Tạp chí THTT)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 21-10-2012 - 15:18

[N H Tu prince]

Cho $a,b,c \geq 0$. CMR:

$\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{{c^2}+\frac{1}{a^2}} \geq 3\sqrt{2}$

(Thử sức trước kì thi lần 1 - Tạp chí THTT)

$\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{{c^2}+\frac{1}{a^2}}$$\geq$$\sqrt{a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}$
Áp dụng AM-GM:
$a^2+b^2+c^2\geq3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq\frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
$=>\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\geq\sqrt{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+\frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
Tiếp tục AM-GM
$\sqrt{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+\frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}\geq2.9$
$=>\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{{c^2}+\frac{1}{a^2}}\geq\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 21-10-2012 - 15:13

[tim1nuathatlac]

Cho $a,b,c \geq 0$. CMR:

$\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{{c^2}+\frac{1}{a^2}} \geq 3\sqrt{2}$

(Thử sức trước kì thi lần 1 - Tạp chí THTT)

Ta sử dụng 1 hệ quả của $Cauchy-Schwarz$ sau: $\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{\left ( a_{1}+..+a_{n} \right )^{2}+\left ( b_{1}+..+b_{n} \right )^{2}}$ với mọi số thực.

$\Rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}\geq \sqrt{\left ( a+b+c \right )^{2}+\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2}}$

$\geq \sqrt{\left ( a +b+c \right )^{2}+\frac{81}{\left ( a+b+c \right )^{2}}}\geq \sqrt{2\sqrt{81}}=3\sqrt{2}$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 21-10-2012 - 09:40

[tson1997]

Cho $a,b,c \geq 0$. CMR:

$\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{{c^2}+\frac{1}{a^2}} \geq 3\sqrt{2}$

(Thử sức trước kì thi lần 1 - Tạp chí THTT)

Ngoài ra cũng có thể sử dụng Cauchy-Schwarz trực tiếp như sau:

Ta có: $\sqrt{(1+1)(a^2+\frac{1}{b^2})} \geq a+\frac{1}{b}$
hay $\sqrt{2(a^2+\frac{1}{b^2})} \geq a+\frac{1}{b}$

Tương tự,ta có: $\sqrt{2(b^2+\frac{1}{c^2})} \geq b+\frac{1}{c}$
$\sqrt{2(c^2+\frac{1}{a^2})} \geq c+\frac{1}{a}$

Cộng theo vế 3 bđt trên ta có : $VT.\sqrt{2} \geq \sum a + \sum \frac{1}{a} \geq \sum a + \frac{9}{\sum a} \geq 6$

Hay $VT \geq 3\sqrt{2} = VP$

Ta có đpcm