Chủ đề này có 2 trả lời

[Doilandan]

1. Cho x thuộc R thoả 0<x<1 và \[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 7\]
Tính giá trị biểu thức : A = \[{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}\]

2. Chứng minh rằng nếu mỗi số m và n là tổng của 2 số chính phương thì tích m.n cũng là tổng của 2 số chính phương.

[DarkBlood]

2. Chứng minh rằng nếu mỗi số m và n là tổng của 2 số chính phương thì tích m.n cũng là tổng của 2 số chính phương.

Giả sử $m=a^{2}+b^{2}$ và $n=c^{2}+d^{2}$

Ta có: $mn=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

$mn=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}$

$mn=(a^{2}c^{2}+2abcd+b^{2}d^{2})+(a^{2}d^{2}-2abcd+b^{2}c^{2})$

$mn=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 23-10-2012 - 11:57

[hoclamtoan]

1) $A^{2}=(x^{2}-\frac{1}{x^{2}})^{2}=x^{4}+\frac{1}{x^{4}}-2$
= $x^{4}+\frac{1}{x^{4}}+2-4=(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-4$ = 49 - 4 = 45
$\Rightarrow A=\pm 3\sqrt{5}$
Vì 0 < x < 1 $\Rightarrow x^{2}<1\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}>1\Rightarrow A<0$
Vậy A = $-3\sqrt{5}$
2) $m=a^{2}+b^{2};n=c^{2}+d^{2}$
$\Rightarrow m.n=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
= $(ac)^{2}+(ad)^{2}+(bc)^{2}+(bd)^{2}$
= $(ac)^{2}+(bd)^{2}+2abcd+(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd$
= $(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}$ (đpcm)