Chủ đề này có 4 trả lời

[CelEstE]

Cho: $a + b + c = 1$ chừng minh rằng:
$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{a}} + b + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2b + c + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2c + a + 3} }} \ge \frac{3}{2}$

[N H Tu prince]

Cho: $a + b + c = 1$ chừng minh rằng:
$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{a}} + b + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2b + c + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2c + a + 3} }} \ge \frac{3}{2}$

Nhập mẫu
$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{a}} + b + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2b + c + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2c + a + 3} }}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{2a+b+3}}$
Áp dụng cauchy-sward
$(\sum \sqrt{2a+b+3})^2\leq 3(3a+3b+3c+9)=36=>\sum \sqrt{2a+b+3}\leq 6$
$=>\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{a}} + b + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2b + c + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2c + a + 3} }}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{2a+b+3}}\geq \frac{9}{6}\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[Math Is Love]

Cho: $a + b + c = 1$ chừng minh rằng:
$$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{a}} + b + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2b + c + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2c + a + 3} }}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ \ge \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có:
$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{a}} + b + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2b + c + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2c + a + 3} }} \ge \frac{(1+1+1)^2}{\sum \sqrt{2a+b+3}}=\frac{9}{\sum \sqrt{2a+b+3}}$
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz lần nữa,ta có:
$(\sum \sqrt{2a+b+3})^{2}\leq (1^2+1^2+1^2)(2a+b+3+2b+c+3+2c+a+3)=3.(3a+3b+3c+9)=36$
$\Rightarrow \sum \sqrt{2a+b+3}\leq 6$
Vậy ta thu được:$\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{a}} + b + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2b + c + 3} }} + \frac{1}{{\sqrt {2c + a + 3} }}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

[no matter what]

Voted ,voted vì đây là box THPT nên xin trình bày 1 cách khác( nhàn hơn)
đặt $S=\frac{1}{\sqrt{2a+b+3}}+\frac{1}{\sqrt{2b+c+3}}+\frac{1}{\sqrt{2c+a+3}}$
và $P=1(2a+b+3)+1(2b+c+3)+1(2c+a+3)=12$(GT)áp dụng BĐT HOLDER ta có
$S^2P\geq (1+1+1)^3=27$ suy ra$S^2\geq \frac{27}{p}=\frac{9}{4}$ (đây cung là dpcm)

[CelEstE]

Em đăng nhầm box nhưng cảm ơn các anh, lời giải rất dễ hiểu