Chủ đề này có 11 trả lời

[phichxayda]

Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Quảng Ninh 2012-2013

Hình gửi kèm

• 

[phichxayda]

á, lúc paint viết nhầm thành năm học 2010-2011

[sogenlun]

Câu 5 : Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn : $abc = 2\sqrt{2}$.Tìm min :
$$ P = \dfrac{a^6+b^6}{a^4+b^4+a^2b^2}+ \dfrac{b^6+c^6}{b^4+c^4+b^2c^2}+ \dfrac{c^6+a^6}{c^4+a^4+c^2a^2}$$
Ta có đánh giá sau :
$$ a^6+b^6 \ge \dfrac{1}{3}(a^2+b^2)(a^4+b^4+a^2b^2)$$
Thật vậy , nó tương đương với :
$$ 2(a^2+b^2)(a^2-b^2)^2 \ge 0 $$
(Đúng).
Áp dụng vào đây sẽ được :
$$ P \ge \dfrac{2}{3}.(a^2+b^2+c^2) \ge 2\sqrt[3]{a^2b^2c^2} = 4 $$
Đẳng thức xảy ra khi $$\begin{cases} a^2=b^2=c^2 \\ abc=2\sqrt{2} \end{cases}$$
Hay $a=b=c=\sqrt{2}$ , $a=b=-\sqrt{2} , c=\sqrt{2}$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sogenlun: 23-10-2012 - 19:27

[T M]

Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Quảng Ninh 2012-2013

Câu 2.

Giải

$$pt\Leftrightarrow m\left [ \left ( x-4 \right )\sqrt{\frac{x+2}{4-x}}-1 \right ]=2x-x^2-2\sqrt{8+2x-x^2} \\$$

Trường hợp $x\geq4$ ta được

$$m\left ( \sqrt{2x-x^2+8}-1 \right )=2x-x^2-2\sqrt{2x-x^2+8} \\ \Leftrightarrow m\left ( t-1 \right )=t^2-2t+8\Leftrightarrow m=\frac{t^2-2t+8}{t-1}$$

Kẻ bảng biến thiên, ta dễ dàng tìm được giá trị $m$ cần tìm

Tương tự với trường hợp $x\leq -2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 23-10-2012 - 19:18

[phichxayda]

Câu 5 : Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn : $abc = 2\sqrt{2}$.Tìm min :
$$ P = \dfrac{a^6+b^6}{a^4+b^4+a^2b^2}+ \dfrac{b^6+c^6}{b^4+c^4+b^2c^2}+ \dfrac{c^6+a^6}{c^4+a^4+c^2a^2}$$
Ta có đánh giá sau :
$$ a^6+b^6 \ge \dfrac{1}{3}(a^2+b^2)(a^4+b^4+a^2b^2)$$
Thật vậy , nó tương đương với :
$$ 2(a^2+b^2)(a^2-b^2)^2 \ge 0 $$
(Đúng).
Áp dụng vào đây sẽ được :
$$ P \ge \dfrac{2}{3}.(a^2+b^2+c^2) \ge 2\sqrt[3]{a^2b^2c^2} = 4 $$
Đẳng thức xảy ra khi $$\begin{cases} a^2=b^2=c^2 \\ a=b=c \\ abc=2\sqrt{2} \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2}$$

bạn lưu ý là a,b,c là số thực chứ không phải dương nên có 4 trường hợp xảy ra dấu =

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phichxayda: 23-10-2012 - 19:24

[sogenlun]

À ừ. Hic . Mình nhầm đoạn dấu bằng $Cô si$ . Đã sửa lại rồi.

[phichxayda]

mình dùng cosi ngược dấu cũng ra đến đoạn cuối như thế, kết luận dấu = cũng thiếu như thế =.=

[T M]

mình dùng cosi ngược dấu cũng ra đến đoạn cuối như thế, kết luận dấu = cũng thiếu như thế =.=

Bạn học trường nào vậy ? Làm được bài không

[T M]

Câu 5.

Có thể làm như sau

$$\frac{a^6+b^6}{a^4+a^2b^2+b^4}=\frac{(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)}{a^4+a^2b^2+b^4}$$

Do

$$3\left ( a^4-a^2b^2+b^4 \right )\geq \left ( a^4+b^4+a^2b^2 \right )$$

Phần còn lại đánh giá đơn giản rồi

[phichxayda]

mình học trg` hoàng quốc việt, làm dc 4/5, nhưng còn sai sót @@

[T M]

Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Quảng Ninh 2012-2013

Chém bừa câu 1.2 =))

Áp dụng quy tắc L'Hospital ta có

$$\lim_{x \to 0}\frac{\left ( x^2+2012 \right )\sqrt[7]{1-2x}-2012}{x}=\lim_{x \to 0} 2x\sqrt[7]{1-2x}+\left ( x^2+2012 \right )\left ( \frac{-2}{7\sqrt[7]{(1-2x)^6}} \right )=\frac{-4027}{7} $$

For fun thôi, thi chắc không được dùng cái này =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 23-10-2012 - 20:12

[phichxayda]

cái đó dùng định nghĩa đạo hàm

L'Hospital có dc dùng đâu