Chủ đề này có 3 trả lời

[TianaLoveEveryone]

1) Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$
2) Nếu $ab\geq 1$ thì $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{2}{ab+1}$
3) Tìm a,b,c,d biết: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-ab-bc-cd-d+\frac{2}{5}=0$

[DarkBlood]

3) Tìm a,b,c,d biết: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-ab-bc-cd-ad+\frac{2}{5}=0$

Ta có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-ab-bc-cd-ad+\frac{2}{5}=0$

$(2a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-ab-bc-cd-ad+\frac{2}{5})=0$

$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}-2ab-2bc-2cd-2ad+\frac{4}{5}=0$

$(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(c^{2}-2cd+d^{2})+(d^{2}-2da+a^{2})+\frac{4}{5}=0$

$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-d)^{2}+(d-a)^{2}+\frac{4}{5}=0$ (vô lí, vì $(a-b)^{2}\geq 0$, $(b-c)^{2}\geq 0$, $(c-d)^{2}\geq 0$, $(d-a)^{2}\geq 0$)

Vậy không có a, b, c, d nào thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-ab-bc-cd-ad+\frac{2}{5}=0$.

[Crystal]

1) Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Bài này áp dụng Cauchy - Schwarz:
\[VT \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{b + c + c + a + a + b}} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{a + b + c}}{2} \Rightarrow Q.E.D\]
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$

2) Nếu $ab\geq 1$ thì $\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{2}{ab+1}$

Bài 2 hình như có vấn đề. Xem bài này rồi bạn so sánh nhé.

[TianaLoveEveryone]

Bài này áp dụng Cauchy - Schwarz:
\[VT \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{b + c + c + a + a + b}} = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{{a + b + c}}{2} \Rightarrow Q.E.D\]
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$



Bài 2 hình như có vấn đề. Xem bài này rồi bạn so sánh nhé.

Ừ. Đúng là mình ghi sai đề thật ^^