$\frac{x}{y\sqrt{3}+z}+\frac{y}{z\sqrt{3}+x}+\frac{z}{x\sqrt{3}+y}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}$
#1
Đã gửi 24-10-2012 - 16:37
2. Cho$ x,y,z>0$; $xy+xz+yz=1$. CMR: $\frac{x}{y.\sqrt{3}+z}+ \frac{y}{z.\sqrt{3}+x}+ \frac{z}{x.\sqrt{3}+y} \ge \frac{3.\sqrt{3}}{4}.$
- donghaidhtt yêu thích
Hãy sống để khi chết, bạn mỉm cười trong khi những người xung quanh thì khóc.
Họ khóc vì niềm vui được biết đến bạn.
#2
Đã gửi 24-10-2012 - 18:17
$ \frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\frac{9}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}$1. Cho$ a,b,c>0$.CMR:$ \frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)} \ge \frac{27}{2(a+b+c)^2}$.
Áp dụng Cauchy-schwarz
$\frac{9}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}\geq \frac{9}{\frac{1}{3}.2(a+b+c)^2}=\frac{27}{2(a+b+c)^2}$
Suy ra dpcm
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 24-10-2012 - 18:17
- together1995 và no matter what thích
#3
Đã gửi 24-10-2012 - 18:29
Bài 2:(đề sai thì phải)1. Cho$ a,b,c>0$.CMR:$ \frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)} \ge \frac{27}{2(a+b+c)^2}$.
2. Cho$ x,y,z>0$; $xy+xz+yz=1$. CMR: $\frac{x}{y.\sqrt{3}+z}+ \frac{y}{z.\sqrt{3}+x}+ \frac{z}{x.\sqrt{3}+y} \ge \frac{3.\sqrt{3}}{4}.$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$\sum \frac{x}{y.\sqrt{3}+z}=\sum \frac{x^2}{\sqrt{3}xy+zx}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(\sqrt{3+1})(xy+yz+xz)}=\frac{(x+y+z)^2}{(\sqrt{3+1})}$
$\Rightarrow \sum \frac{x}{y.\sqrt{3}+z}\geq \frac{3}{\sqrt{3}+1}$
Mặt khác,ta có:
$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)=3$
Vậy $\Rightarrow \sum \frac{x}{y.\sqrt{3}+z}\geq \frac{3}{\sqrt{3}+1}$.
Dấu $"="$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 25-10-2012 - 10:05
- together1995, N H Tu prince, NguyenVietKhanh và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 24-10-2012 - 18:31
Bạn có thể xem lại đề không? Nếu $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$ thì $$\frac{x}{y.\sqrt{3}+z}+\frac{y}{z.\sqrt{3}+x}+\frac{z}{x.\sqrt{3}+y}\ge \frac{3\sqrt{3}-3}{2}<\frac{3\sqrt{3}}{4}$$2. Cho$ x,y,z>0$; $xy+xz+yz=1$. CMR: $\frac{x}{y.\sqrt{3}+z}+ \frac{y}{z.\sqrt{3}+x}+ \frac{z}{x.\sqrt{3}+y} \ge \frac{3.\sqrt{3}}{4}.$
- together1995 và N H Tu prince thích
#5
Đã gửi 24-10-2012 - 19:45
Sai rồi !$ \frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\frac{9}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}$
Áp dụng Cauchy-schwarz
$\frac{9}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}\geq \frac{9}{\frac{1}{3}.2(a+b+c)^2}=\frac{27}{2(a+b+c)^2}$
Suy ra dpcm
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Theo AM-GM : $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}$1. Cho$ a,b,c>0$.CMR:$ \frac{1}{b(a+b)}+\frac{1}{c(b+c)}+\frac{1}{a(c+a)} \ge \frac{27}{2(a+b+c)^2}$.
$(a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{2(a+b+c)}{3})^3= \frac{8(a+b+c)^3}{27}$
$\Rightarrow abc(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8(a+b+c)^6}{27.27}$
Lại theo AM-GM :
$VT\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{\frac{8(a+b+c)^6}{27.27}}}= \frac{27}{2(a+b+c)^2}$
$\Rightarrow Q.E.D$
- together1995, quoctruong1202, N H Tu prince và 4 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 25-10-2012 - 00:57
Bài này trong sách đề là vậy, mình nghĩ nó cũng khá dễ, làm y như bạn đó, nhưng ko đc, chéc là do đề nhầmBài 2:(đề sai thì phải)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,t$\Rightarrow \sum \frac{x}{y.\sqrt{3}+z}\geq \frac{3}{\sqrt{3}+1}$a có:
$\sum \frac{x}{y.\sqrt{3}+z}=\sum \frac{x^2}{\sqrt{3}xy+zx}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(\sqrt{3+1})(xy+yz+xz)}=\frac{(x+y+z)^2}{(\sqrt{3+1})}$
Mặt khác,ta có:
$(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)=3$
Vậy $\Rightarrow \sum \frac{x}{y.\sqrt{3}+z}\geq \frac{3}{\sqrt{3}+1}$.
Dấu $"="$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Hãy sống để khi chết, bạn mỉm cười trong khi những người xung quanh thì khóc.
Họ khóc vì niềm vui được biết đến bạn.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh