Chủ đề này có 1 trả lời

[cutesmile9x]

Cho $\Delta ABC$ với $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, và $\widehat{B}>\widehat{C}$, AD là tia phân giác góc A.
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để $\widehat{A}=2(\widehat{B}-\widehat{C})$ là $(b-c)(b+c)^2=a^2b$

[perfectstrong]

Lời giải:
Trên $AD$ lấy $E$ sao cho $\angle ABE=\angle ACB$. Khi đó $\angle ABC-\angle ACB=\angle DBE$
Ta có các kết quả sau:
\[
\begin{array}{l}
b > c \\
AD^2 = \frac{{bc\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{\left( {b + c} \right)^2 }} \\
\vartriangle ABE \sim \vartriangle ACD\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AD}} \\
\Rightarrow \frac{{AC - AB}}{{AC}} = \frac{{AD - AE}}{{AD}} \\
\Rightarrow DE = AD.\frac{{b - c}}{b} \\
\Rightarrow DA.DE = AD^2 .\frac{{b - c}}{b} = \frac{{\left( {b - c} \right)c\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{\left( {b + c} \right)^2 }} \\
\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b} \Rightarrow \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{c}{{b + c}} \Rightarrow BD = \frac{{ac}}{{b + c}} \\
\end{array}
\]
Do đó
\[
\begin{array}{rcl}
\angle BAC &=& 2\left( {\angle ABC - \angle ACB} \right) \\
\Leftrightarrow 2\angle BAD &=& 2\angle DBE \\
\Leftrightarrow \angle BAD &=& \angle DBE \\
\Leftrightarrow \vartriangle DBE &\sim& \vartriangle DAB \\
\Leftrightarrow DB^2 &=& DE.DA \\
\Leftrightarrow \frac{{a^2 c^2 }}{{\left( {b + c} \right)^2 }} &=& \frac{{\left( {b - c} \right)c\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{\left( {b + c} \right)^2 }} \\
\Leftrightarrow a^2 c &=& \left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {b - c} \right) \\
\Leftrightarrow a^2 c &=& \left( {b - c} \right)\left[ {\left( {b + c} \right)^2 - a^2 } \right] \\
\Leftrightarrow a^2 b &=& \left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)^2 \\
\end{array}
\]