Chủ đề này có 1 trả lời

[lovecat95]

Cho 3 số thực dương a,b,c thoả abc=8
Tìm GTLN của: $\frac{1}{2a+b+6}+\frac{1}{2b+c+6}+\frac{1}{2c+a+6}$


P/S : Cho mình hỏi các cách để giải dạng toán trên , nghĩa là :cho tích của 3 số abc=k , tìm GTNN hay GTLN của biểu thức

[tim1nuathatlac]

Cho 3 số thực dương a,b,c thoả abc=8
Tìm GTLN của: $\frac{1}{2a+b+6}+\frac{1}{2b+c+6}+\frac{1}{2c+a+6}$


P/S : Cho mình hỏi các cách để giải dạng toán trên , nghĩa là :cho tích của 3 số abc=k , tìm GTNN hay GTLN của biểu thức

Với $xyz=1$ thì ta luôn có đẳng thức sau: $\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{zx+z+1}=1$ (*)

Dự đoán $Max=\frac{1}{4}$ nên em có ý tưởng như thế này, đặt $\left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( 2x^{2},2y^{2},2z^{2} \right )$ $\Rightarrow xyz=1$

Vậy ta sẽ cm $\frac{2}{2x^{2}+y^{2}+3}+\frac{2}{2y^{2}+z^{2}+3}+\frac{2}{2z^{2}+x^{2}+3}\leq \frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+z+1}$

Bất đẳng thức này lại luôn đúng theo $AM-GM$.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khi đứng trước bất đẳng thức có $xyz=k^{3}$ thì ý tưởng của em là đổi các biến $x,y,z$ như sau:

1) $\left ( x,y,z \right )\rightarrow \left ( \frac{ka^{2}}{bc},\frac{kb^{2}}{ca},\frac{kc^{2}}{ab} \right )$

VD Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xyz=8$. Chứng minh $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+2x+4}\geq 1$

2) $\left ( \frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z} \right )\rightarrow \left ( \frac{a^{2}}{kbc},\frac{b^{2}}{kca},\frac{c^{2}}{kab} \right )$

VD Cho $x,y,z> 0$ và $xyz=1$ , chứng minh bất đẳng thức sau $\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{2}\geq \frac{3}{4}$

3) $\left ( x,y,z \right )\rightarrow \left ( \frac{kx}{y},\frac{ky}{z},\frac{kz}{x} \right )$

VD Cho $x,y,z> 0$g thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh $\left ( x+\frac{1}{y}-1 \right )\left ( y+\frac{1}{z}-1 \right )\left ( z+\frac{1}{x}-1 \right )\leq 1$

4) Sử dụng đẳng thức (*)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 26-10-2012 - 16:00