Chủ đề này có 1 trả lời

[mai dsung]

Giải phương trình: $\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\leq 0$
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x^{2}(y+z)=xyz+14& \\ y^{3}+z^{3}+y^{2}(z+x)=xyz-21& \\ z^{3}+x^{3}+z^{2}(x+y)=xyz+7& \end{matrix}\right.$
Hi vọng mọi người giúp giải bằng nhiều cách.
-----

Lời nhắn từ BQT: Xem cách đặt tiêu đề.

[Crystal]

Giải phương trình: $\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}\leq 0$

Cách 1: Bất phương trình đã cho tương đương với: $$6\left( {{x^2} - 3x + 1} \right) + \sqrt {6\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)} \leqslant 0 \Leftrightarrow 6\left[ {2\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 1} \right)} \right] + \sqrt {6\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)} \leqslant 0$$
$$ \Leftrightarrow 12\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \sqrt {6\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} - 6\left( {{x^2} + x + 1} \right) \leqslant 0$$
$$ \Leftrightarrow 12\left( {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right) + \sqrt {\frac{{6\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}} - 6 \leqslant 0\,\,\,\left(\text{vì}\,\,\,\, {{x^2} + x + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)$$
Đặt $t = \sqrt {\frac{{6\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}} > 0$, khi đó bất phương trình trở thành:
$$2{t^2} + t - 6 \leqslant 0 \Leftrightarrow 0 < t \leqslant \frac{3}{2}$$
Do đó: $$\frac{{6\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}} \leqslant \frac{9}{4} \Leftrightarrow 5{x^2} - 11x + 5 \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{11 - \sqrt {21} }}{{10}} \leqslant x \leqslant \frac{{11 + \sqrt {21} }}{{10}}$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ {\frac{{11 - \sqrt {21} }}{{10}};\frac{{11 + \sqrt {21} }}{{10}}} \right]$

Xem các cách khác tại đây (trong các bài làm của các thành viên)