Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c \ge 0, a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của :
$$S=a^3+b^3+c^3+7abc$$
Cho $a,b,c \ge 0, a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của : $S=a^3+b^3+c^3+7abc$
Started By Tham Lang, 27-10-2012 - 19:44
#1
Posted 27-10-2012 - 19:44
#2
Posted 27-10-2012 - 20:10
Ta có
$$S=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+10abc\leq (a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+\frac{10}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{3}-\frac{17}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$(1)
Vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}$
Thay vào (1) ta được
$$S\leq (a+b+c)^{3}-\frac{17}{9}(a+b+c)\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}=\frac{(a+b+c)^{3}}{18}+\frac{51}{18}(a+b+c)\leq \frac{3^{3}}{18}+\frac{51.3}{18}=10$$
Vậy Max S=10 đạt được khi $a=b=c=1$
$$S=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+10abc\leq (a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+\frac{10}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{3}-\frac{17}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$(1)
Vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}$
Thay vào (1) ta được
$$S\leq (a+b+c)^{3}-\frac{17}{9}(a+b+c)\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}=\frac{(a+b+c)^{3}}{18}+\frac{51}{18}(a+b+c)\leq \frac{3^{3}}{18}+\frac{51.3}{18}=10$$
Vậy Max S=10 đạt được khi $a=b=c=1$
- Tham Lang, ducthinh26032011, WhjteShadow and 5 others like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users