Bài toán [Tham Lang]
Cho $a,b,c \ge 0, a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của :
$$S=a^3+b^3+c^3+7abc$$
Cho $a,b,c \ge 0, a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTLN của : $S=a^3+b^3+c^3+7abc$
Bắt đầu bởi Tham Lang, 27-10-2012 - 19:44
#1
Đã gửi 27-10-2012 - 19:44
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
- HÀ QUỐC ĐẠT, WhjteShadow, robin997 và 1 người khác yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#2
Đã gửi 27-10-2012 - 20:10
HÀ QUỐC ĐẠT
-
- Thành viên
-
- 295 Bài viết
Thượng sĩ
Ta có
$$S=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+10abc\leq (a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+\frac{10}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{3}-\frac{17}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$(1)
Vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}$
Thay vào (1) ta được
$$S\leq (a+b+c)^{3}-\frac{17}{9}(a+b+c)\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}=\frac{(a+b+c)^{3}}{18}+\frac{51}{18}(a+b+c)\leq \frac{3^{3}}{18}+\frac{51.3}{18}=10$$
Vậy Max S=10 đạt được khi $a=b=c=1$
$$S=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+10abc\leq (a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+\frac{10}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{3}-\frac{17}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$(1)
Vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}$
Thay vào (1) ta được
$$S\leq (a+b+c)^{3}-\frac{17}{9}(a+b+c)\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}=\frac{(a+b+c)^{3}}{18}+\frac{51}{18}(a+b+c)\leq \frac{3^{3}}{18}+\frac{51.3}{18}=10$$
Vậy Max S=10 đạt được khi $a=b=c=1$
- Tham Lang, ducthinh26032011, WhjteShadow và 5 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
