ĐỀ THI HSG VÒNG 2 TỈNH ĐỒNG THÁP
Câu 1:
Cho tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^{2}+ bx +c$ với các hệ số thực thỏa mãn các điều kiện: $\left|f(x) \right|<1$, với mọi $x\epsilon \left[-1;1 \right]$ và phương trình $(a-2){x}^{2}+ bx +c+1$ có nghiệm thực.
a) Chứng mình rằng: $\left|f(\frac{5}{4}) \right|<\frac{17}{8}$
b) Chứng minh rằng với mọi số dương q, ta đều có: $$\left|f(\frac{1}{2}(q+{q}^{-1} ))\right|<\frac{1}{2}({q}^{2}+{q}^{-2})$$
Câu 2:
Xác định các hàm số $f:(0,1) \rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện: $f(xy)=f(x(1-y))$,với mọi $x,y\epsilon (0,1)$
Câu 3:
Cho tam giác đều ABC và hình vuông MNPQ nội tiếp trong cùng đường tròn (E) bán kính 1. Giải sử điểm I chạy trên đường tròn (E).
a) CMR:$IA + IB + IC < 3\sqrt{2}$ .
b) Tìm giá trị lớn nhất của $P = IM + IN + IP + IQ.$
Câu 4:
Chứng minh rằng với mọi số thực $a\geq3$ cho trước, luôn tồn tại dãy các số nguyên dương {${x}_{n}$}:
${x}_{1}=1; {x}_{n+1}>\frac{2}{3}{x}_{n}$, với mọi $ n\geq 1$, sao cho: $\lim_{}({(2/3)}^{n-1}{x}_{n})= a$
Nguồn: boxmath.vn
