Chủ đề này có 5 trả lời

[cold_as_ice_12]

cho $ a,b,c $ không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng $ 0$ thoả mãn $ a^2+b^2+c^2=3 $. CMR:

$$ \frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2} \geq 2 $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cold_as_ice_12: 28-10-2012 - 18:04

[duongvanhehe]

cho $ a,b,c $ không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng $ 0$ thoả mãn $ a^2+b^2+c^2=3 $. CMR:

$$ \frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2} \geq 2 $$

Không giảm tính tổng quát giả sử $c=$ min ${a,b,c}$ ta có
$\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}-ca+a^{2}}$
$\geq \frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$
(Do $bc\geq c^{2}\Rightarrow b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}\Rightarrow \frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{1}{b^{2}}$
và $\frac{1}{a^{2}-ca+c^{2}}\geq \frac{1}{a^{2}}$)
$=\frac{1}{3}(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}))$
$\geq \frac{1}{3}\left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}+(a^{2}+b^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\right )\geq 2$
Do $\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}+(a^{2}+b^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})-6=-\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}+\frac{(a^{2}-b^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}}$
$=\left ( \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}b^{2}}-\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}} \right )(a-b)^{2}\geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$ , $c=0$
---------------
Sorry bạn,mình bất cẩn quá,mình sửa lại rùi đó !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongvanhehe: 28-10-2012 - 20:03

[sonksnb]

Không giảm tính tổng quát giả sử $c=$ min ${a,b,c}$ ta có
$\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}-ca+a^{2}}$
$\geq \frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$
$=\frac{1}{3}(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}))$
$\geq \frac{1}{3}\left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}+(a^{2}+b^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\right )$
$\geq \frac{1}{3}\left ( 2+4 \right )=2$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$ , $c=0$

Không giảm tính tổng quát giả sử $c=$ min ${a,b,c}$ ta có
$\frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}-ca+a^{2}}$
$\geq \frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$
$=\frac{1}{3}(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}))$
$\geq \frac{1}{3}\left ( \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}+(a^{2}+b^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\right )$
$\geq \frac{1}{3}\left ( 2+4 \right )=2$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$ , $c=0$

mình thấy nó cứ làm sao ý

[duongvanhehe]

mình thấy nó cứ làm sao ý

Cụ thể là chỗ nào? Bạn chỉ rõ ra đi !

[cold_as_ice_12]

chỗ $ \frac{a^2+b^2}{a^2-ab+b^2}\geq 2 $ của bạn có vẫn đề, nếu quy đồng lên thì sẽ thấy là $ a^2+b^2 \leq 2ab $

[sonksnb]

mình thấy nó cứ làm sao ý

$\frac{1}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{1}{a^{2}}$