Chủ đề này có 2 trả lời

[funcalys]

* Bổ đề Gronwall:
Cho $f,g: [ 0,+ \infty) \to \mathbb{R}$ liên tục, $f,g \geq 0,C>0$, thỏa mãn:
$f(x) \leq \int_{0}^{x}fg + C, \forall x \in [ 0,+ \infty)$
Chứng minh rằng: $\forall x \in [ 0,+ \infty), f(x) \leq C e^{\int_{0}^{x}g}$

[dark templar]

* Bổ đề Gronwall:
Cho $f,g: [ 0,+ \infty) \to \mathbb{R}$ liên tục, $f,g \geq 0,C>0$, thỏa mãn:
$f(x) \leq \int_{0}^{x}fg + C, \forall x \in [ 0,+ \infty)$
Chứng minh rằng: $\forall x \in [ 0,+ \infty), f(x) \leq C e^{\int_{0}^{x}g}$

Bài này nếu chứng minh thì hơi rối tý,anh chịu khó đọc nhé
Xét :$h(x)=C+\int_{0}^{x}fg$.Suy`ra $h(0)=C;f(x) \le h(x)$
$\implies h'(x)=f(x)g(x) \le h(x)g(x) $
$\implies \left[h(x).\exp{\left(-\int_{0}^{x}g \right)} \right]'=\exp{\left(-\int_{0}^{x}g \right)}[h'(x)-h(x)g(x)] \le 0$
Suy ra:
$h(x)\exp{\left(-\int_{0}^{x}g \right)} \le h(0)=C \implies f(x) \le h(x) \le C.\exp{\left(\int_{0}^{x}g \right)}$

P/s:Bài này vẫn đúng trên đoạn không gian $[a;b]$

[dark templar]

1 dạng tổng quát của bổ đề Gronwall là BĐT Bihari Xem chi tiết ở đây.