Chủ đề này có 8 trả lời

[yellow]

Tìm số mũ của $2$ trong dạng phân tích tiêu chuẩn của số $[(1+\sqrt{3})^{2013}]$

[hxthanh]

Sử dụng tính chất $\begin{cases}x,y\not\in\mathbb Z\\x+y\in\mathbb Z\end{cases}\;\Rightarrow \left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor y\right\rfloor=x+y-1$
Ta có:
$\left\lfloor (\sqrt 3+1)^{2013}\right\rfloor+\left\lfloor -(\sqrt 3-1)^{2013}\right\rfloor=(\sqrt 3+1)^{2013}-(\sqrt 3-1)^{2013}-1$
$\Rightarrow \left\lfloor (\sqrt 3+1)^{2013}\right\rfloor=(\sqrt 3+1)^{2013}-(\sqrt 3-1)^{2013}$
$($Do $-1<-(\sqrt 3-1)^{2013}<0)$

Một cách tổng quát ta sẽ chứng minh

$\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

Xét dãy số nguyên
$\{u_n\}:\;\begin{cases}u_1=1 \\ u_2=5 \\ u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n,\quad n\ge 1\end{cases}$

Dễ thấy dãy này toàn số lẻ
Mà ta dễ dàng chứng minh được $u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$



Đối với bài toán này $n=1007$ đó cũng là số mũ của $2$ trong phân tích tiêu chuẩn của $\left\lfloor (\sqrt 3+1)^{2013}\right\rfloor$

[yellow]

Sử dụng tính chất $\begin{cases}x,y\not\in\mathbb Z\\x+y\in\mathbb Z\end{cases}\;\Rightarrow \left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor y\right\rfloor=x+y-1$
Ta có:
$\left\lfloor (\sqrt 3+1)^{2013}\right\rfloor+\left\lfloor -(\sqrt 3-1)^{2013}\right\rfloor=(\sqrt 3+1)^{2013}-(\sqrt 3-1)^{2013}-1$
$\Rightarrow \left\lfloor (\sqrt 3+1)^{2013}\right\rfloor=(\sqrt 3+1)^{2013}-(\sqrt 3-1)^{2013}$
$($Do $-1<-(\sqrt 3-1)^{2013}<0)$

Một cách tổng quát ta sẽ chứng minh

$\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

Xét dãy số nguyên
$\{u_n\}:\;\begin{cases}u_1=1 \\ u_2=5 \\ u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n,\quad n\ge 1\end{cases}$

Dễ thấy dãy này toàn số lẻ
Mà ta dễ dàng chứng minh được $u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$



Đối với bài toán này $n=1007$ đó cũng là số mũ của $2$ trong phân tích tiêu chuẩn của $\left\lfloor (\sqrt 3+1)^{2013}\right\rfloor$

Anh ơi, anh xem thử coi chỗ này có nhầm dấu không anh?
Sử dụng tính chất $\begin{cases}x,y\not\in\mathbb Z\\x+y\in\mathbb Z\end{cases}\;\Rightarrow \left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor y\right\rfloor=x+y-1$
Ta có:
$\left\lfloor (\sqrt 3+1)^{2013}\right\rfloor+\left\lfloor -(\sqrt 3-1)^{2013}\right\rfloor=(\sqrt 3+1)^{2013}-(\sqrt 3-1)^{2013}-1$
$\Rightarrow \left\lfloor (\sqrt 3+1)^{2013}\right\rfloor=(\sqrt 3+1)^{2013}-(\sqrt 3-1)^{2013}$
$($Do $-1<-(\sqrt 3-1)^{2013}<0)$

[hxthanh]

Sao vậy? Có chỗ nào em không hiểu à?

$\left\lfloor -(\sqrt 3-1)^{2013}\right\rfloor=-1$ mà!

Đẳng thức $\begin{cases}x,y\not\in\mathbb Z\\x+y\in\mathbb Z\end{cases}\;\Rightarrow \left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor y\right\rfloor=x+y-1$

Thì $x,y$ âm dương có quan trọng gì đâu?

[yellow]

Xét dãy số nguyên
$\{u_n\}:\;\begin{cases}u_1=1 \\ u_2=5 \\ u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n,\quad n\ge 1\end{cases}$

Dễ thấy dãy này toàn số lẻ
Mà ta dễ dàng chứng minh được $u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$

Cái trên có phải để chứng minh cái này không anh?
$\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

[hxthanh]

...
Xét dãy số nguyên
$\{u_n\}:\;\begin{cases}u_1=1 \\ u_2=5 \\ u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n,\quad n\ge 1\end{cases}$

Dễ thấy dãy này toàn số lẻ
Mà ta dễ dàng chứng minh được $u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$
...

Thế này nhé!
$\{u_n\}$ xác định như trên bao gồm các số nguyên lẻ phải không nào?
$u_1$ lẻ $\Rightarrow u_3$ lẻ $\Rightarrow u_5$ lẻ $...$
$u_2$ lẻ $\Rightarrow u_4$ lẻ $\Rightarrow u_6$ lẻ $...$
hơn nữa
$u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$ là số lẻ
Thế chẳng phải là $\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

[Mai Xuan Son]

Sao vậy? Có chỗ nào em không hiểu à?

$\left\lfloor -(\sqrt 3-1)^{2013}\right\rfloor=-1$ mà!

Đẳng thức $\begin{cases}x,y\not\in\mathbb Z\\x+y\in\mathbb Z\end{cases}\;\Rightarrow \left\lfloor x\right\rfloor+\left\lfloor y\right\rfloor=x+y-1$

Thì $x,y$ âm dương có quan trọng gì đâu?

Thầy sao lập được cái dãy số hay thế ạ ^^

[yellow]

Thế này nhé!
$\{u_n\}$ xác định như trên bao gồm các số nguyên lẻ phải không nào?
$u_1$ lẻ $\Rightarrow u_3$ lẻ $\Rightarrow u_5$ lẻ $...$
$u_2$ lẻ $\Rightarrow u_4$ lẻ $\Rightarrow u_6$ lẻ $...$
hơn nữa
$u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$ là số lẻ
Thế chẳng phải là $\begin{cases}(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\vdots\;2^n\\ (\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}\;\not {\vdots}\;2^{n+1}\end{cases}$

Anh ơi, thế mình làm thế nào để lập được cái dãy số đó??? Trong bài làm chỉ cần nói xét dãy số đó ak?

[hxthanh]

Xuất phát từ giá trị tổng quát mà ta tính được
là $A(n)=(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}$

Với $n=1$ ta thấy $A(1)=2\;\vdots\; 2^1$
Với $n=2$ ta thấy $A(2)=20\;\vdots\; 2^2$
$v.v...$

Vì thế ta mới nảy sinh ý định chứng minh $u_n=\dfrac{(\sqrt 3+1)^{2n-1}-(\sqrt 3-1)^{2n-1}}{2^n}$ là số nguyên lẻ với mọi $n$
Có được công thức tổng quát rồi suy ngược ra công thức truy hồi đâu có gì là khó!

Cho $n=1$ ta được $u_1=1$; cho $n=2$ được $u_2=5$; ...
... rồi biến đổi một chút ta sẽ có:

$u_n=\dfrac{\sqrt 3-1}{2}\left(2+\sqrt 3\right)^n - \dfrac{\sqrt 3+1}{2}\left(2-\sqrt 3\right)^n$

Mặt khác $\begin{cases} \left(2+\sqrt 3\right)+\left(2-\sqrt 3\right) = 4 \\ \left(2+\sqrt 3\right)\left(2-\sqrt 3\right)=1 \end{cases}$
Nên nó là hai nghiệm của phương trình
$X^2-4X+1=0$

Từ đó mới lập ra được và chứng minh dễ dàng đẳng thức $u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n$