Chủ đề này có 9 trả lời

[hochanh199x]

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 02/11/2012

Câu 1 (3đ):Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
\ln \sqrt{x}-\ln \sqrt{y}=\frac{1}{2} (xy+1)(y-x) \\ x^2+y^2=1

\end{matrix}\right.$
Câu 2 (2,5đ):Cho dãy số $(x_n)$ được xác đinh:$x_1=a, x_{n+1}=x_n(1-x_n)$ với mọi $n\geq1, a\in R$. Tìm a để dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Câu 3 (4đ):
a) Cho số $A=(2112012)^{2011}+2011^{2012}+2012$. Hãy cho biết số A có phải là số chính phương không? Giải thích vì sao?
b) Cho tập hợp A={1;2;3:..;30}. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 số (phần tử) thuộc tập hợp A sao cho hiệu của 2 số bất kì trong 6 số đó không nhỏ hơn 3?
Câu 4 (5đ):
Cho tam giác ABC, đường cao AD. Biết AD=5, BC=9, AC=$2\sqrt{13}$. Gọi $(\Delta)$ là đường thẳng đi qua điểm D. Đường thẳng $(\Delta)$ cắt đường tròn đường kính AD tại E khác D và cắt đường tròn đường kính AC tai F khác D. Gọi hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và EF.
a) Chứng minh rằng AN vuông góc với MN
b) Trong trường hợp diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất, hãy tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng CN.
Câu 5 (3đ): Tìm hàm số f:R->R thỏa mãn:$f(xf(x)+f(y))=[f(x)]^2+y$, với mọi $x,y\in R $
Câu 6 (2,5đ):
Cho x,y,z là các số thực phân biệt và không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(x^2+y^2+z^2)[\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}]$

P/s: Câu số 1 em gõ hệ không đc, mod giúp em nhé. thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hochanh199x: 04-11-2012 - 06:38

[Math Is Love]

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 02/11/2012

Câu 3 (3đ):
a) Cho số $A=(2112012)^{2011}+2011^{2012}+2012$. Hãy cho biết số A có phải là số chính phương không? Giải thích vì sao?
b) Cho tập hợp A={1;2;3:..;30}. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 số (phần tử) thuộc tập hợp A sao cho hiệu của 2 số bất kì trong 6 số đó không nhỉ hơn 3?

Câu 3b chém thế này không biết đúng ko?
Gọi $X$ là tập các tập hợp $6$ phần tử $\left \{ x_1;x_2;...;x_6 \right \}$ của tập $A$ sao cho hiệu của 2 số bất kì trong 6 số đó không nhỏ hơn 3 và $x_1<x_2...<x_6$
Đặt :
$y_1=x_1$
$y_2=x_2-2$
$y_3=x_3-4$
....
$y_6=x_6-10$
Gọi tập $Y=y_1;y_2;..;y_6$
Thiết lập ánh xạ từ $X$ tới $Y$
$$f:X \to Y$$
$$(x_1;x_2;x_3;x_4;x_5;x_6)\to(y_1;y_2;y_3;y_4;y_5;y_6)$$
Nhận xét:$y_1\geq 1;y_6\leq 30-10=20$
$f$ là song ánh(dễ dàng chứng minh)
$y_1<y_2<..<y_6$
$y_1\geq 1;y_6\leq 30-10=20$
Vậy $|Y|=C^{6}_{20}$
Từ đó $\Rightarrow |X|=C^{6}_{20}$
Vậy số tập hợp thỏa mãn là $C^{6}_{20}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 03-11-2012 - 19:05

[WhjteShadow]

Câu 6 (2,5đ):
Cho x,y,z là các số thực phân biệt và không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(x^2+y^2+z^2)[\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}]$

1 bài bất đăng thức nổi tiếng của Đào Hải Long:
Do không mất tính tổng quát của bài ta giả sử $x\geq y\geq z$
Ta có$\frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( y-z \right )^{2}}\geq \frac{2}{(x-y)(y-z)}\geq \frac{8}{\left ( z-x \right )^{2}}$
Suy ra $VT\geq \frac{1}{\left ( z-x \right )^{2}}+\frac{8}{\left ( z-x \right )^{2}}=\frac{9}{\left ( z-x \right )^{2}}$
$$\geq \frac{9}{2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )}$$
(Luôn đúng do $2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\geq \left ( z-x \right )^{2}$ )
Dấu = khi $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y+z=0 & \end{matrix}\right.$ và hoán vị bộ số này $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 03-11-2012 - 20:18

[Ispectorgadget]

File PDF đề này.
 de thi HSG.pdf   95.36K   254 Số lần tải

[Spin9x]

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 02/11/2012

Câu 1 (3đ):Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
\ln \sqrt{x}-\ln \sqrt{y}=\frac{1}{2} (xy+1)(y-x) (1)\\ x^2+y^2=1

\end{matrix}\right.$

ĐK: x,y>0
$(1) ->\ln {x}-\ln {y}+ (xy+x^2+y^2)(x-y)=0$

$ \lnx+x^3=\lny+y^3$
Xét $f(t)=\lnt+t^3$ trên t>0 đồng biến nên hệ có nghiệm
$x=y$

[International No1]

Câu 1 (3đ):Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}
\ln \sqrt{x}-\ln \sqrt{y}=\frac{1}{2} (xy+1)(y-x) \\ x^2+y^2=1

\end{matrix}\right.$

câu này dễ lắm đừng làm nó phức tạp
------------------------------------- Giải ----------------------------------
ĐK: x,y $\geqslant$ 0

Do x,y có vai trò như nhau nên ta xét $x $$\geqslant$$ y$
$x\geqslant y \Leftrightarrow y-x \leqslant 0$ $\Leftrightarrow VP(1)\leqslant 0$
mặt khác:
$$x\geqslant y \Leftrightarrow \sqrt{x}\geqslant \sqrt{y} \Leftrightarrow \ln{\sqrt{x}}- \ln{\sqrt{y}}\geqslant 0 \Leftrightarrow VT(1)\geqslant 0$$
Suy ra: VT=VP khi x=y
...giải típ!!!!!!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi International No1: 07-11-2012 - 21:18

[hoanga1k36]

Cho x,y,z là các số thực phân biệt và không âm.CMR:
\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( \frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}} \right )\geq \frac{11+5\sqrt{5}}{2}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanga1k36: 16-12-2012 - 18:08

[together1995]

1 bài bất đăng thức nổi tiếng của Đào Hải Long:
Do không mất tính tổng quát của bài ta giả sử $x\geq y\geq z$
Ta có$\frac{1}{\left ( x-y \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( y-z \right )^{2}}\geq \frac{2}{(x-y)(y-z)}\geq \frac{8}{\left ( z-x \right )^{2}}$
Suy ra $VT\geq \frac{1}{\left ( z-x \right )^{2}}+\frac{8}{\left ( z-x \right )^{2}}=\frac{9}{\left ( z-x \right )^{2}}$
$$\geq \frac{9}{2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )}$$
(Luôn đúng do $2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\geq \left ( z-x \right )^{2}$ )
Dấu = khi $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y+z=0 & \end{matrix}\right.$ và hoán vị bộ số này $\square$

Mình đã thi HSG xong. Bạn làm sai rồi nhé, nên chú ý các số thực x,y,z không âm và phân biệt, câu này không dễ như bạn nghĩ đâu, nếu ko ai giải ra mình sẽ cho đáp án

[together1995]

Bài 3a sử dụng đồng dư, bài 4 dùng phương pháp tọa độ

[WhjteShadow]

Mình đã thi HSG xong. Bạn làm sai rồi nhé, nên chú ý các số thực x,y,z không âm và phân biệt, câu này không dễ như bạn nghĩ đâu, nếu ko ai giải ra mình sẽ cho đáp án

À vâng tôi đọc nhầm đề bài. Bạn không cần phải xoắn hết lên thế =))
Tham khảo bài 4 tr0ng t0pic:
http://diendantoanho...ightgeq-frac92/