Chủ đề này có 3 trả lời

[sabala]

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp . Đường trung trực của $AH$ cắt các cạnh $AB,AC$ tương ứng tại $D,E$.Chứng minh $A$ là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $ODE$

[BoBoiBoy]

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp . Đường trung trực của $AH$ cắt các cạnh $AB,AC$ tương ứng tại $D,E$.Chứng minh $A$ là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $ODE$

Gọi $M;N$ lần lượt là giao điểm của $CH:BH$ với $(O)$.
$\bullet$Ta sẽ chứng minh $DA$ là phân giác góc ngoài tại đỉnh $D$ của $\Delta ODE$ ($EA$ chứng minh tương tự).
Dễ thấy:$AB$ là đường trung trực của $HM$.Mà $DE$ là trung trực của $AH$
$\Rightarrow DA=DH=DM$.Mà $OA=OM$ nên $DO$ là trung trực của $AM$.
Do đó $\widehat{ADx}=\widehat{xDM}=\frac{1}{2} \widehat{ADM}$(với $Dx$ là tia đối của tia $DO$).
Vì $AB$ là đường trung trực của $HM$ nên $\widehat{MDB}=\widehat{BDH}=2.\widehat{BAH}=2.(90^{\circ}-\widehat{ABC})$.
Lại có:$\widehat{MDB}=180^{\circ}-\widehat{MDA}=180^{\circ}-2.\widehat{xDA}$
$\Rightarrow \widehat{xDA}=\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$ (do $DE \parallel BC$ vì cùng $\perp AH$) (đccm)
Vậy $A$ là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $ODE$.
------------------------------------------------------------
Chứng minh $AB$ là trung trực của $MH$:Tứ giác $AMBC$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{BCH}$.Mà $\widehat{BCH}=\widehat{BAH}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)
$\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{BAH}$ hay $AB$ là phân giác $\widehat{MAH}$.
Lại có $AB \perp MH$ nên $AB$ là trung trực của $MH$.
Còn $DE$ là trung trực của $AH$ là theo đề bài nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoBoiBoy: 11-11-2012 - 07:49

[sabala]

Gọi $M;N$ lần lượt là giao điểm của $CH:BH$ với $(O)$.
$\bullet$Ta sẽ chứng minh $DA$ là phân giác góc ngoài tại đỉnh $D$ của $\Delta ODE$ ($EA$ chứng minh tương tự).
Dễ thấy:$AB$ là đường trung trực của $HM$.Mà $DE$ là trung trực của $AH$
$\Rightarrow DA=DH=DM$.Mà $OA=OM$ nên $DO$ là trung trực của $AM$.
Do đó $\widehat{ADx}=\widehat{xDM}=\frac{1}{2} \widehat{ADM}$(với $Dx$ là tia đối của tia $DO$).
Vì $AB$ là đường trung trực của $HM$ nên $\widehat{MDB}=\widehat{BDH}=2.\widehat{BAH}=2.(90^{\circ}-\widehat{ABC})$.
Lại có:$\widehat{MDB}=180^{\circ}-\widehat{MDA}=180^{\circ}-2.\widehat{xDA}$
$\Rightarrow \widehat{xDA}=\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$ (do $DE \parallel BC$ vì cùng $\perp AH$) (đccm)
Vậy $A$ là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $ODE$.

Dễ thấy:$AB$ là đường trung trực của $HM$.Mà $DE$ là trung trực của $AH$
Sao dễ thấy anh? cm giùm luôn được không anh?

[henry0905]

Dễ thấy:$AB$ là đường trung trực của $HM$.Mà $DE$ là trung trực của $AH$
Sao dễ thấy anh? cm giùm luôn được không anh?

$\widehat{GBE}=\widehat{FDC}=\widehat{FBC}$
Đổi điểm là chứng minh xong.

Hình gửi kèm

•