Xuất phát từ
1) Phương trình $A^{_{n}}x^{n}+A^{_{n-1}}x^{n-1}+....+ A_{1}x+A^{_{0}}=0$ (*) có nghiệm hữu tỉ $x=\frac{P}{Q}$ thì
P ước $A_{0}$; Q ước $A_{n}$.
ĐB: nếu $A_{n}=1$ thì phương trình có nghiệm là nghiệm nguyên là ước của $A_{0}$
2) Nếu $x_{0}$ là nghiệm pt thì
$f(x)=A^{_{n}}x^{n}+A^{_{n-1}}x^{n-1}+....+ A_{1}x+A^{_{0}} =(x-x_{0})g(x)$.
TH1: $x_{0}=1$ nghiệm thì dễ nhận ra.
TH2: $x_{0}\neq 1$ ta có:
$f(1)=A^{_{n}}1^{n}+A^{_{n-1}}1^{n-1}+....+ A_{1}1+A^{_{0}} =(1-x_{0})g(1)$ từ đây $g(1)=\frac{f(1)}{x_{0}-1}$
mà g(1) số nguyên nên$\frac{f(1)}{x_{0}-1}$ là số nguyên.
Làm tương tự có thể thay x=-1 cho x=1 ở trên.
KL : Để nhẩm nhanh nghiệm nguyên trong trường hợp $A_{n}=1$như sau:
Tìm các ước của $A_{0}$ thay vào $\frac{f(1)}{x_{0}-1}$ xem có phải là số nguyên không là được
Ví dụ : Hãy chỉ ra phương trình sau :$x^{2013}-7x^{8}+2x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{3}+5=0$
có nhận x=5 là nghiệm không?
Giải: Phương trình nếu có nghiệm nguyên thì là ước của 5
Ta có g(-1)=$g(-1)=\frac{f(-1)}{-1-5}=\frac{1}{3}$ không nguyên nên Pt không nhận x=5 là nghiệm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haiphong08: 12-11-2012 - 12:12
