Chủ đề này có 3 trả lời

[lehoanghiep]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a^{4}+1}+\frac{1}{b^{4}+1}+\frac{1}{c^{4}+1}+\frac{1}{d^{4}+1}=1$.
Chứng minh rằng $abcd\geq 3$.

[tramyvodoi]

đặt $a=\sqrt[4]{\frac{y+z+t}{x}}$
$b=\sqrt[4]{\frac{x+z+t}{y}}$
$c=\sqrt[4]{\frac{x+y+t}{z}}$
$d=\sqrt[4]{\frac{x+y+z}{t}}$
với x,y,z,t>0
mình có thể dễ dàng kiễm tra đc a,b,c,d thỏa mãn điều kiện của đề bài
với a,b,c,d theo x,y,z,t. mình sẽ cm 1 bđt với 4 biến số x,y,z,t. điều này chứng minh không khó.

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a^{4}+1}+\frac{1}{b^{4}+1}+\frac{1}{c^{4}+1}+\frac{1}{d^{4}+1}=1$.
Chứng minh rằng $abcd\geq 3$.

từ đk ta có $\frac{1}{b^{4}+1}+\frac{1}{c^{4}+1}+\frac{1}{d^{4}+1}= 1-\frac{1}{a^{4}}=\frac{a^{4}}{a^{4}+1}\Rightarrow \frac{a^{4}}{a^{4}+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(b^{4}+1)(c^{4}+1)(d^{4}+1)}}$
làm tương tự như vậy và nhân vế theo vế ta có
$\prod \frac{a^{4}}{a^{4}+1}\geq 3^{4}\prod \sqrt[3]{(\frac{1}{a^{4}+1}})^{3}\Rightarrow \prod a^{4}\geq 3^4\Rightarrow abcd\geq 3$
dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=\sqrt[4]{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 12-11-2012 - 22:14

[dark templar]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a^{4}+1}+\frac{1}{b^{4}+1}+\frac{1}{c^{4}+1}+\frac{1}{d^{4}+1}=1$.
Chứng minh rằng $abcd\geq 3$.

Ta vẫn có thể AM-GM trực tiếp bài này
Dễ thấy bài toán trên tương đương với bài toán sau:
Cho $a,b,c,d>0$ thỏa $\sum_{a,b,c,d}\frac{1}{a+1}=1$.Chứng minh:$abcd \ge 81$
Sử dụng AM-GM ,ta có:
$$1-\frac{1}{a+1}=\frac{a}{a+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{(b+1)(c+1)(d+1)}}$$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi nhân lại sẽ có đpcm.