Chủ đề này có 1 trả lời

[NLT]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa: \[\left\{ \begin{array}{l}
3x^2 + 3xy + y^2 = 75 \\
y^2 + 3z^2 = 27 \\
z^2 + xz + x^2 = 16 \\
\end{array} \right.\]
Tính giá trị của biểu thức: \[ P=xy+2yz+3zx \]
___
NLT

[yeutoan11]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa: \[\left\{ \begin{array}{l}
3x^2 + 3xy + y^2 = 75 \\
y^2 + 3z^2 = 27 \\
z^2 + xz + x^2 = 16 \\
\end{array} \right.\]
Tính giá trị của biểu thức: \[ P=xy+2yz+3zx \]
___
NLT

Từ điểm $I$ cố định trong mặt phẳng , ta dựng $3$ đoạn $IA,IB,IC$ sao cho :
$BIC = 90^{\circ}$ ; $AIB = 150^{\circ}$ ; $AIC = 120^{\circ}$
$IA = x\sqrt{3}$ ; $IB = y$ và $IC=z\sqrt{3}$
Ta có :
$S_{ABC} = S_{IAB} + S_{IBC}+S_{ICA}$
$\Leftrightarrow S_{ABC}=\sum\frac{1}{2}.IA.IB.SinAIB$
$\Leftrightarrow S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}.xy+\frac{\sqrt{3}}{2}.yz+\frac{3\sqrt{3}}{4}xz$
$\Leftrightarrow xy+2yz+3zx=\frac{4S_{ABC}}{\sqrt{3}}$
Tiếp theo là định lí hàm $cosin$
$AB^2=IA^2+IB^2 - 2IA.IB.CosAIB=3x^2+3xy+y^2=75$
$AC^2=IA^2+IC^2 - 2IA.IC.CosAIC=3x^2+3xz+3z^2=48$
$Pytago$ Ta có :
$BC^2 = IB^2+IC^2=y^2+3z^2=27$
$\Rightarrow AC^2+BC^2=AB^2$
Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $C$
$\Rightarrow xy+2yz+3zx=\frac{4S_{ABC}}{\sqrt{3}}=\frac{2AC.BC}{\sqrt{3}}=24\sqrt{3}$
___

NLT: Đây là lời giải trong cuốn Olympic 30/4, còn lời giải nào khác không ?
Có lẽ không :@)!, tại đề đề nghị nên có lẽ chế ra (:|

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 14-11-2012 - 19:04