Chủ đề này có 5 trả lời

[caothuprofifa]

CMR với mọi a>0 b>0 c>0 a²+b²+c²+2abc+3>= (1+a)(1+b)(1+c)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caothuprofifa: 14-11-2012 - 20:30

[Mai Xuan Son]

CMR với mọi a>0 b>0 c>0 a²+b²+c²+2abc+3>= (1+a)(1+b)(1+c)

Sau khi rút gọn ta có:
$a^2+b^2+c^2+abc+2\geq ab+bc+ac+a+b+c$
hay
$2(a^2+b^2+c^2)+2abc+4\geq (ab+bc+ac+a+b+c).2$
Áp dụng kết quả sau
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$ (1)
cần chứng minh
$a^2+b^2+c^2+3\geq 2a+2b+2c$ (2)
hay $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq0$ (đúng)
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Từ (1) và (2) ta có đpcm

[caothuprofifa]

sao có (1) vậy bạn

[Mai Xuan Son]

sao có (1) vậy bạn

đó là 1 kết quả quen thuộc mà bạn còn cách chứng minh thì nhiều lắm

[caothuprofifa]

bạn giải giúp mình lun đi

[Mai Xuan Son]

bạn giải giúp mình lun đi

Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba số $a, b, c$ sẽ có hai số hoặc cùng $\geq 1$ hoặc cùng $\leq 1$. Giả sử hai số đó là $a, b$ khi đó:
$$(a-1)(b-1)\geq 0.$$
Từ đây, bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
$$a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geq 0$$
Ta thu được ngay bất đẳng thức (1), phép chứng minh hoàn tất.

Lời giải 2: Ta sẽ sử dụng phương pháp dồn biến để chứng minh bài toán. Giả sử $c$ là số bé nhất và đặt:
$$f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$$
Ta có:
$$f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geq 0$$
Do đó $f(a,b,c)\geq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)$, vậy ta chỉ cần chứng minh $f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)\geq 0$.
Thật vậy, nếu đặt $t=\sqrt{ab}$ thì ta có:
$$f(t,t,c)=2t^2+c^2+2t^2c-2(t^2+2tc)+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geq 0$$
Bài toán được chứng minh xong.