Chủ đề này có 2 trả lời

[Lee Sr]

cho p P,p>3
n là số các số là bội của ba
CMR

[MrMATH]

Dạ vâng mấy cái liên quan tới luật thuận nghịch hình như THANIQ cũng đã post 1 vài lần, chịu khó search trong diễn đàn hoặc là tìm trong thư viện trường, nhan nhản em ạ

Off thôi, toàn ăn nói linh tinh nhỉ

[Duck_Pro]

Lời giải đầy đủ đây rùi:

Gọi {$r_{1},r_{2}, ... ,r_n$} là tập tất cả các số là bội của 3 nằm trong khoảng $( \dfrac{p}{2},p)$.

Giả sử $S_{1}, S_{2}, ... ,S_{m} $ là bội của 3 nằm trong khoảng $(0, \dfrac{p}{2})$ và $t_{1}, t_{2}, ... , t_{h}$ là bội của 3 nằm trong khoảng $(p, \dfrac{3p}{2})$.

Khi đó ta có $n + m + h = \dfrac{p-1}{2}$. Thật vậy, ta có $3i < \dfrac{3p}{2} $
$i < \dfrac{p}{2}$ --> $1$ $i$ $\dfrac{p-1}{2}$
--> $n + m + h = \dfrac{p-1}{2}$.

Xét tập $A = ${ $S_{1}, S_{2}, ... , S_{m},p- r_{1},p- r_{2}, ... ,p- r_n, t_{1}-p, t_{2} -p, ... , t_{h} -p$} $(0, \dfrac{p}{2})$.
Ta chứng minh $\dfrac{p-1}{2}$ phần tử của A là phân biệt.

+) Nếu $S = p - r$ --> $S+r=p$ --> $p$ $3$ (Vô lý).
+) Nếu $S = t - p$ --> $t-S=p$ --> $p$ $3$ (Vô lý).
+) Nếu $t-p = p - r$ --> $2p=t+r$ --> $p$ $3$ (Vô lý).

-->$ A =$ {$1, 2, ..., \dfrac{p-1}{2}$}

--> $S_{1}S_{2}...S_{m}(p- r_{1})(p- r_{2}) ... (p- r_n)( t_{1}-p)( t_{2} -p)...(t_{h} -p) = (\dfrac{p-1}{2})! $

Mà $S_{1} S_{2} ... S_{m} r_{1} r_{2} ... r_n t_{1} t_{2} ... t_{h} = 3^{ \dfrac{p-1}{2} } (\dfrac{p-1}{2})! $

và $S_{1} S_{2} ... S_{m} r_{1} r_{2} ... r_n t_{1} t_{2} ... t_{h} (-1)^{n} $ $S_{1}S_{2}...S_{m}(p- r_{1})(p- r_{2}) ... (p- r_n)( t_{1}-p)( t_{2} -p)...(t_{h} -p) (mod p)$

--> $ 3^{ \dfrac{p-1}{2} } ( \dfrac{p-1}{2})! $ $ (-1)^{ n } ( \dfrac{p-1}{2})! $

--> $3^{ \dfrac{p-1}{2} }$ $(-1)^{ n }$ (mod p).