Chủ đề này có 1 trả lời

[dactai10a1]

Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc CA,AB tại E,F.GỌi M là trung điểm của BC và N là giao điểm của FE.Đường tròn đường kính BC cắt BI,CI tại X,Y.CHứng minh rằng NX/NY=AC/AB

[BoBoiBoy]

Ta có:$N;I;D$ thẳng hàng (D là tiếp điểm của $(I)$ với $BC$.
Dễ chứng minh được $X;Y;E;F$ thẳng hàng.
Ta thấy các tứ giác $XFIB$;$XIDB$ nội tiếp nên 5 điểm $X;F;I;D;B$ cùng thuộc 1 đường tròn.
Suy ra tứ giác $XFID$ nội tiếp,do đó $NF.NX=NI.ND$.
Tương tự:$NE.NY=NI.ND$ $\Rightarrow NX.NF=NY.NE\Rightarrow \frac{NX}{NY}=\frac{NE}{NF}=\frac{EX}{FY}$.
Lại có: $\Delta FBY\sim \Delta IBC\sim \Delta EXC$ (vì đều có 1 góc bằng $\frac{\widehat{B}}{2}$;1 góc bằng $\frac{\widehat{C}}{2}$).
$$\Rightarrow \frac{FY}{IC}=\frac{BF}{IB};\frac{EX}{IB}=\frac{CE}{CI}$$
$$\Rightarrow \frac{EX}{FY}=\frac{BI^2}{CI^2}.\frac{CE}{BF}$$
Mặt khác:
$$BI^2=\frac{ac(a+c-b)}{a+b+c};CI^2=\frac{ab(a+b-c)}{a+b+c};BF=a+c-b;CE=a+b-c$$
(với $a;b;c$ lần lượt là độ dài $BC;CA;AB$ )
nên $\frac{EX}{FY}=\frac{BI^2}{CI^2}.\frac{CE}{BF}=\frac{c}{b}=\frac{AB}{AC}$
Vậy $\frac{NX}{NY}=\frac{AB}{AC}$