2 replies to this topic

[thpthang]

Chứng minh giới hạn $lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=0$

Giúp dùm mình. Thanks!

[vantho302]

Có lẽ bạn đã nhầm đề rồi $\lim \frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = e$ mới đúng
Để giải bài này rất dài bạn và ta phải chứng minh nhiều bài toán phụ nữa.
Các bài toán phụ bạn có thể tự nghiên cứu thêm chứ mình không chứng minh ở đây (vì quá dài )
"Nếu ${x_n} > 0$ thì $\lim \sqrt[n]{{{x_n}}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}}$"

* Bài toán:
ta có $\frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = \sqrt[n]{{\frac{{{n^n}}}{{n!}}}} = \sqrt[n]{{{x_n}}}$
Với ${x_n} = \frac{{{n^n}}}{{n!}}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \lim \frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = \lim \sqrt[n]{{{x_n}}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}} \\
= \lim \left[ {\frac{{{n^n}}}{{n!}}.\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^{\left( {n - 1} \right)}}}}} \right] = \lim \left[ {\frac{{{n^n}}}{{n.{{\left( {n - 1} \right)}^n}.{{\left( {n - 1} \right)}^{ - 1}}}}} \right] \\
= Lim\left[ {\frac{{n - 1}}{n}.{{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)}^n}} \right] = Lim\left[ {{{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)}^{ - 1}}.{{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)}^n}} \right] \\
= Lim{\left( {\frac{n}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = Lim{\left( {\frac{{n - 1 + 1}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = Lim{\left( {1 + \frac{1}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = e \\
\end{array}$

[dark templar]

Chứng minh giới hạn $lim\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=0$

Giới hạn đúng phải là $e$ như anh vantho302 đã nêu. Mình sẽ trình bày cách giải bằng nguyên lý kẹp:
Ta có 1 BĐT cơ bản sau:
$$\ln{x} \le \int_{x}^{x+1}\ln{t}dt \le \ln{(x+1)};\forall x>0$$
Bây giờ ta áp dụng BĐT này với $x$ chạy từ 1 đến $n-1$,ta sẽ thu được:
$$\ln{1}+\ln{2}+...+\ln{(n-1} \le \int_{1}^{2}\ln{t}dt+...+\int_{n-1}^{n}\ln{t}dt \le \ln{2}+...+\ln{n}$$
Hay:
$$\ln{(n-1)!} \le \int_{1}^{n}\ln{t}dt \le \ln{n!}$$
Dễ dàng có:$\int_{1}^{n}\ln{t}dt=\left(t\ln{t}-t \right)\Bigg|_{1}^{n}=n\ln{n}-n+1=\ln{\left[\left(\frac{n}{e} \right)^{n}.e \right]}$.
Từ đây ta có:
$$(n-1)! \le \frac{n^{n}}{e^{n-1}} \le n! \iff \frac{e}{\sqrt[n]{ne}} \le \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \le \frac{e}{\sqrt[n]{e}}$$
Ta có:$\lim_{n \to \infty}\frac{e}{\sqrt[n]{ne}}=\lim_{n \to \infty}\frac{e}{\sqrt[n]{e}}=e$ nên theo nguyên lý kẹp,ta sẽ có:$\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$.

P/s:Bài này mình đã từng post trên diễn đàn lâu rồi,trong phần Giải tích THPT