Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangtrunghieu22101997]

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC;CA;AB$ tại $D;E;F.$

Chứng minh:
$DE.IB.AC=DF.IC.AB$

[minhtuyb]

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC;CA;AB$ tại $D;E;F.$

Chứng minh:
$DE.IB.AC=DF.IC.AB$

Hình đơn giản nên thôi nhé :
---
Viết lại đẳng thức cần c/m:
$$\dfrac{IB.DF}{IC.DE}=\dfrac{DF^2.AB}{DE^2.AC}$$
Cụ $Ptolemy$ bảo là:
$$IB.DF=IF.BD+FB.ID=r(BD+BF)=r(a+c-b)\\ IC.DE=...=r(a+b-c)\\ \Rightarrow \dfrac{IB.DF}{IC.DE}=\dfrac{a+c-b}{a+b-c}$$
Vậy ta phải c/m:
$$\dfrac{a+c-b}{a+b-c}=\dfrac{DF^2.c}{DE^2.b}\Leftrightarrow \dfrac{DF^2}{DE^2}=\dfrac{b(a+c-b)}{c(a+b-c)}$$

*Bây giờ ta đi tính $DE^2:$
$$\begin{aligned} \overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IE}\\ \Rightarrow DE^2&=DI^2+IE^2+2\overrightarrow{DI}.\overrightarrow{IE}\\ &=2r^2+2DI.IE\cos \widehat{DIE}\\ &=2r^2-2r^2\cos \widehat{DCE}\\ &=2r^2(1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab})\\&=2r^2\dfrac{(c-a+b)(c+a-b)}{2ab} \end{aligned}$$
Tương tự:
$$DF^2=2r^2\dfrac{(b-a+c)(b+a-c)}{2ac}$$
Cơ bản là thế. Hình như mình tính nhầm bước nào rồi ="=

[hoangtrunghieu22101997]

Hình đơn giản nên thôi nhé :
---
Viết lại đẳng thức cần c/m:
$$\dfrac{IB.DF}{IC.DE}=\dfrac{DF^2.AB}{DE^2.AC}$$
Cụ $Ptolemy$ bảo là:
$$IB.DF=IF.BD+FB.ID=r(BD+BF)=r(a+c-b)\\ IC.DE=...=r(a+b-c)\\ \Rightarrow \dfrac{IB.DF}{IC.DE}=\dfrac{a+c-b}{a+b-c}$$
Vậy ta phải c/m:
$$\dfrac{a+c-b}{a+b-c}=\dfrac{DF^2.c}{DE^2.b}\Leftrightarrow \dfrac{DF^2}{DE^2}=\dfrac{b(a+c-b)}{c(a+b-c)}$$

*Bây giờ ta đi tính $DE^2:$
$$\begin{aligned} \overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IE}\\ \Rightarrow DE^2&=DI^2+IE^2+2\overrightarrow{DI}.\overrightarrow{IE}\\ &=2r^2+2DI.IE\cos \widehat{DIE}\\ &=2r^2-2r^2\cos \widehat{DCE}\\ &=2r^2(1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab})\\&=2r^2\dfrac{(c-a+b)(c+a-b)}{2ab} \end{aligned}$$
Tương tự:
$$DF^2=2r^2\dfrac{(b-a+c)(b+a-c)}{2ac}$$
Cơ bản là thế. Hình như mình tính nhầm bước nào rồi ="=

Mình cũng tính được có khi ngắn hơn. Nhưng phần sau mới khó
Ai giúp mềnh với

[BoBoiBoy]

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC;CA;AB$ tại $D;E;F.$

Chứng minh:
$DE.IB.AC=DF.IC.AB$

Bài toán này ta áp dụng công thức sau:$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$

Ta có:
$$\frac{DE}{ID}=\frac{sin\widehat{EID}}{sin\widehat{IED}}=\frac{sinC}{sin\frac{C}{2}}$$
Tương tự:$$\frac{DF}{ID}=\frac{sinB}{sin\frac{B}{2}}$$
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\frac{IB}{ID}.\frac{DE}{DI}.AC=\frac{IC}{ID}.\frac{DF}{DI}.AB$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{sin\frac{B}{2}}.\frac{sinC}{sin\frac{C}{2}}.AC=\frac{1}{sin\frac{C}{2}}.\frac{sinB}{sin\frac{B}{2}}.AB$$
$$\Leftrightarrow \frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$$
(đúng)
Vậy $DE.IB.AC=DF.IC.AB$