Chủ đề này có 1 trả lời

[tramyvodoi]

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^{4}-y^{4}=\frac{3}{4y}-\frac{1}{2x} & \\ (x^{2}-y^{2})^{5}+5=0 & \end{matrix}\right.$

[thienlonghoangde]

Theo con phố quen đây là một bài hệ rất hay và độ khó cũng khá cao ở mức kỉ thuật. Đặc biệt là con số $5$ huyền bí trong bài hệ.
Ta thử phân tích các điều liên quan sau : $$x^2-y^2 =(x-y)(x+y) \ ; \ x^4 -y^4 =(x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x-y)(x+y)\left[ (x+y)^2-2xy \right]$$$$xy = (x+y)^2 - (x-y)^2 \ ; \ 3x-2y = x +2(x-y) =(x+y)-2(x-y)-y$$ Với các phân tích như đã thấy, ta quan sát biểu thức $x+y$ và $x-y$ có liên quan chặt chẽ tới các biểu thức trong bài toán. Do đó ta đi đến việc chọn ẩn phụ để làm tinh giản bớt tính phức tạp trong bài toán như sau : $$\begin{cases} a=x+y \\ b =x-y \end{cases} \quad (ab \ne 0; \ a \ne \pm b)$$ Từ đây ta hoàn toàn có thể biễu diễn các phân tích đã chỉ ra theo $a$ và $b$ như sau : $$\begin{aligned} & x^2-y^2=ab \ ; \ 4xy=a^2-b^2 \\ & 3x-2y=(x+y)+2(x-y) -y=\dfrac{a+5b}{2} \\ & x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=\dfrac{ab(a^2+b^2)}{2} \end{aligned}$$ Từ đó ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình : $$\begin{cases}\dfrac{ab(a^2+b^2)}{2}=\dfrac{a+5b}{2(a^2-b^2)} \\\ a^5b^5=-5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b(a^4-b^4)=1-a^4b^6 \\\ a^5b^5=-5 \end{cases}$$$$\begin{cases} (b^5+1)(a^4b-1)=0 \\ a^5b^5=-5 \end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \begin{cases}b=-1 \\ a^5=5 \end{cases} \\ \begin{cases} a^4b=1 \\ a^5b^5=-5 \end{cases} \end{matrix} \right.$$ Tới đây việc trả về các biến $x,y$ các bạn tiếp sức tiếp cho con phố quen dùm.

Nguồn:K2pi.net