Chủ đề này có 1 trả lời

[tuannd2009]

Cho các số thực dương $a,b,c$thoả mãn $ab+bc+ac=1$.Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$A=40a^2+27b^2+14c^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuannd2009: 25-11-2012 - 21:22

[tramyvodoi]

Giả sữ "=" xảy ra tại a=x,b=y,c=z. Ta đánh giá như sau:
$\left\{\begin{matrix} aybx\leq \frac{a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}}{2}\\ bzcy\leq \frac{b^{2}z^{2}+c^{2}y^{2}}{2}\\ cxaz\leq \frac{c^{2}x^{2}+a^{2}z^{2}}{2} \end{matrix}\right.$
<=>$\left\{\begin{matrix} ab\leq \frac{a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}}{2xy}\\ bc\leq \frac{b^{2}z^{2}+c^{2}y^{2}}{2yz}\\ ca\leq \frac{c^{2}x^{2}+a^{2}z^{2}}{2xz} \end{matrix}\right.$
cộng theo vế bất đẳng thức ta được:
$ab+bc+ca\leq a^{2}(\frac{y+z}{2x})+b^{2}(\frac{x+z}{2y})+c^{2}(\frac{x+y}{2z})$
Ý tưởng đã khá rõ. Ta sẽ đi tìm 3 số x,y,z, sao liên quan tới A= 40a²+27b²+14c²
Dẫn tới việc giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} \frac{\frac{y+z}{2x}}{40}=\frac{\frac{x+y}{2y}}{27}=\frac{\frac{x+y}{2z}}{14} & \\ xy+yz+zx=1 & \end{matrix}\right.$
Điều khó khăn nhất đó là ý tưởng đánh giá đã được giải quyết. Bây giờ ta chỉ việc giải hệ này là biết được điểm rơi của bài toán. Từ đó biết được hướng đánh giá. Hệ này giải không thật sứ khó khăn