Chủ đề này có 3 trả lời

[25 minutes]

Tìm $\lim a_n=\sum_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}?$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 30-11-2012 - 16:47

[dark templar]

Tìm $\lim a_n=\sum_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}?$

Xét hiệu:
$$a_{n+1}-a_{n}=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{k^3-1}{k^3+1}-\sum_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}=\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}>0;\forall n \ge 2$$
Như vậy dãy $\{a_{n} \}$ là dãy tăng.
Theo AM-GM:
$$a_{n}=\sum_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}=\sum_{k=2}^{n}\left(1-\frac{2}{k^3+1} \right) \ge n-1-\sum_{k=2}^{n}\frac{2}{k(k+1)}=n-2+\frac{2}{n+1}$$
Mặt khác $\lim_{n \to \infty}\left(n-2+\frac{2}{n+1} \right)=+\infty$.Do đó,ta có thể thấy rằng tổng $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k^3-1}{k^3+1}$ không hội tụ.

P.s:Ai có cách rút gọn được tổng $a_{n}=\sum_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}$ thì post lên tham khảo nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 12-12-2012 - 19:47

[25 minutes]

Xét hiệu:
$$a_{n+1}-a_{n}=\sum_{k=2}^{n+1}\frac{k^3-1}{k^3+1}-\sum_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}=\frac{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}>0;\forall n \ge 2$$
Như vậy dãy $\{a_{n} \}$ là dãy tăng.
Nhận thấy rằng:
$$a_{n}=\sum_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}=\sum_{k=2}^{n}\left(1-\frac{2}{k^3+1} \right)<n-1$$
Do đó,ta có thể thấy rằng tổng $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k^3-1}{k^3+1}$ không hội tụ.

P.s:Ai có cách rút gọn được tổng $a_{n}=\sum_{k=2}^{n}\frac{k^3-1}{k^3+1}$ thì post lên tham khảo nhé

Thế $lim a_n$ bằng gì thế, mình nhớ nó là số hữu tỉ ?

[dark templar]

Tổng này không có hội tụ thì $\lim_{n \to \infty}a_{n}=+\infty$.Mà cách chứng minh của mình bị nhầm chỗ,để mình chỉnh sửa lại