Chủ đề này có 3 trả lời

[Ispectorgadget]

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: Toán lớp 12
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi

Câu 1.
1). Giải phương trình: $2x^2 - x - \frac{1}{8} =\sqrt[3]{\frac{9}{8x^2} + \frac{1}{x} - 1}$
2). Giải hệ phương trình: $\left\{ {{\begin{array}{*{20}c}
{(y + 1)^2 + y\sqrt {y^2 + 1} = x + \frac{3}{2}} \\
{x + \sqrt {x^2 - 2x + 5} = 1 + 2\sqrt {2x - 4y + 2} } \\
\end{array} }} \right.$

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình sau có nghiệm :
\[
m\left( {\sqrt {1 - x} + 1} \right) + x\left( {\sqrt {1 + x} + 1} \right)
\ge 0
\]

Câu 3. Cho dãy số được xác định bởi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = 5}\\
{{u_{n + 1}} = \frac{{u_n^2 + 2{u_n} + 4}}{6}}
\end{array}} \right.$

Đặt $v_n = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{u_k + 4}} $ . Tìm giới hạn : $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } v_n $

Câu 4. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn :$a^2 + b^2 + c^2
= 3$ . Chứng minh rằng: \[
\frac{1}{1 + a^2b^2} + \frac{1}{1 + b^2c^2} + \frac{1}{1 + c^2a^2} \ge
\frac{9}{2(a + b + c)}
\]

Câu 5.
a). Cho hình chóp $S.ABC$ với thể tích $V$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Các điểm $K$ và $G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB$ và $SAC$. Tính theo $V$ thể tích khối tứ diện $AMGK$.
b). Cho tứ diện $ABCD, M $ là điểm nằm bên trong tứ diện, các đường thẳng $AM, BM, CM$ và $DM$ lần lượt cắt các mặt $(BCD), (ACD), (ABD)$ và $(ABC)$ tại ${A_1},\,{B_1},\,{C_1},\,{D_1}$ . Tìm vị trí của điểm $M$ để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
\[
P = \sqrt {\frac{AM}{MA_1 }} + \sqrt {\frac{BM}{MB_1 }} + \sqrt
{\frac{CM}{MC_1 }} + \sqrt {\frac{DM}{MD_1 }} .
\]
Câu 6. Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma $ lần lượt là góc giữa đường thẳng $\Delta $ và các đường thẳng chứa các cạnh $BC, CA, AB$ của tam giác đều $ABC.$ Chứng minh rằng: $${\sin ^2}\alpha .{\sin ^2}\beta .{\sin ^2}\gamma + {\cos ^2}\alpha .{\cos ^2}\beta .{\cos ^2}\gamma = \frac{1}{{16}}$$
.

-----------------------------------Hết------------------------------------

Nguồn: k2pi.net

[lehoanghiep]

Câu 1.
1). Giải phương trình: $2x^2 - x - \frac{1}{8} =\sqrt[3]{\frac{9}{8x^2} + \frac{1}{x} - 1}$
2). Giải hệ phương trình: $\left\{ {{\begin{array}{*{20}c}
{(y + 1)^2 + y\sqrt {y^2 + 1} = x + \frac{3}{2}} \\
{x + \sqrt {x^2 - 2x + 5} = 1 + 2\sqrt {2x - 4y + 2} } \\
\end{array} }} \right.$

Ngoại hình câu này ghê quá
1) Nhân thêm $x$ cả hai vế ta được
$2x^{3}-x^{2}-\frac{1}{8}x=\sqrt[3]{-x^{3}+x^{2}
+\frac{9}{8}x}$ $\Leftrightarrow x^{3}+x=-x^{3}+x^{2}
+\frac{9}{8}x+\sqrt[3]{-x^{3}+x^{2}
+\frac{9}{8}x}$.
Xét hàm $f\left ( t \right )=t^{3}+t$.
Suy ra $x=\sqrt[3]{-x^{3}+x^{2}+\frac{9}{8}x}\Leftrightarrow 2x^{3}-x^{2}-\frac{9}{8}x=0$.
2) Từ phương trình $(1)$ suy ra $x-2y=y^{2}+y\sqrt{y^{2}+1}-\frac{1}{2}\Rightarrow 2x-4y+2=2y^{2}+2y\sqrt{y^{2}+1}+1=\left ( y+\sqrt{y^{2}+1} \right )^{2}$.
Thế vào phường trình $(2)$ được $x-1+\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+4}=2y+\sqrt{\left ( 2y \right )^{2}+4}$.
Suy ra $x-1=2y$.
Công việc còn lại đơn giản rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 02-12-2012 - 11:25

[NGOCTIEN_A1_DQH]

câu 3. Cho dãy số được xác định bởi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = 5}\\
{{u_{n + 1}} = \frac{{u_n^2 + 2{u_n} + 4}}{6}}
\end{array}} \right.$

Đặt $v_n = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{u_k + 4}} $ . Tìm giới hạn : $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } v_n $

dễ thấy $ \lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty $

từ công thức truy hồi của dãy $ u_n $ ta có:

$ u_{n+1}=\frac{u_n^2+2u_n+4}{6} $

$ \Rightarrow u_{n+1}-u_n=\frac{u_n^2-4u_n^2+4}{6} $

$ \Rightarrow u_{n+1}-2-u_n+2=\frac{(u_n-2)^2}{6} $ (*)

vì $ u_n $ là dãy tăng nên $ u_n >2 \forall n $, chia cả 2 vế của (*) cho $ (u_{n+1}-2)(u_n-2) $ ta được:

$\frac{1}{u_n-2}-\frac{1}{u_{n+1}-2}=\frac{u_n-2}{6(u_{n+1}-2)}=\frac{u_n-2}{u_n^2+2u_n-8}=\frac{1}{u_n+4} $

$ \Rightarrow v_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{u_k+4}=\frac{1}{u_1+4}-\frac{1}{u_{n+1}+4} \to \frac{1}{9} $ khi $ n \to +\infty $

vậy $ \lim_{n \to +\infty} v_n =\frac{1}{9} $

[lehoanghiep]

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình sau có nghiệm :
\[
m\left( {\sqrt {1 - x} + 1} \right) + x\left( {\sqrt {1 + x} + 1} \right)
\ge 0
\]

Điều kiện $-1\leq x\leq 1$.
$m\geq \frac{-x\left ( \sqrt{1+x}+1 \right )}{\sqrt{1-x}+1}=\frac{-x\left ( \sqrt{1+x}+1 \right )\left ( \sqrt{1-x}-1 \right )}{\left ( \sqrt{1-x} +1 \right )\left ( \sqrt{1-x}-1 \right )}=\sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-1=f\left ( x \right )$.

Bài này nhẹ nhàng